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Folge rationaler Zahlen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Grenzwerte
Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert
 
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Sie die Folge aller rationalen Zahlen mit . Wenn ich die Häufungspunkte bestimmen soll, ist doch jeder Bruch ein Häufungspunkt oder? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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"Wenn ich die Häufungspunkte bestimmen soll, ist doch jeder Bruch ein Häufungspunkt oder?" Ja, und sogar jede reelle Zahl, wenn man reelle Zahlen in Betracht zieht. |
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Wie kann ich das begründen mit der reellen Zahl? Wir haben einen Satz bewiesen, dass zwischen 2 rationalen Zahlen eine reelle Zahl liegt.Was wäre dann der inf von der rationalen Folge? |
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"Was wäre dann der lim inf von der rationalen Folge?" Das kann man so einfach nicht sagen, denn das kommt darauf an, wie man rationale Zahlen "abzählt". Dass eine irrationale reelle Zahl mit rationalen Zahlen "angenähert" werden kann, ist ziemlich offensichtlich. Eine Zahl z.B. wird durch Zahlen , , , , usw. angenähert. |
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jeder irrationale Zahl ist der kleinste Häufungspunkt, also inf . Wie kann man das ordentlich begründen? |
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"jeder irrationale Zahl ist der kleinste Häufungspunkt" Nein, das habe ich nicht gesagt. Und ich wiederhole: den kleinsten Häufungspunkt kann man nicht bestimmen, er hängt davon ab, wie abgezählt wird. |
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Kannst du mir bitte sagen, wie bei einer möglichen Abzählung von inf aussieht? Bin nicht ganz sicher, wie du das meinst, dass man auf mehrere Arten abzählen kann? |
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Wenn man alle rationalen Zahlen als Folge schreibt, so ist , sonst wäre ja von unten beschränkt. Wenn Du wirklich danach fragst. Mittlerweile verstehe ich gar nicht, was Deine Aufgabe ist. Kannst Du es vielleicht präzisieren? |
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Ich habe die Folge und soll inf gegen unendlich von bestimmen und im Anschluss mein Ergebnis begründen. |
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Warum schreibst Du dann am Anfang "Wenn ich die Häufungspunkte bestimmen soll"? :-O Wie gesagt, , die Begründung steht oben. |
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Danke :-) Das mit dem Häufungspunkten war davor. Ich soll die Häfungspunkte der Folge generell bestimmen. Das sind ja die reellen Zahlen. Wie könnte man das begründen? |
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"Das sind ja die reellen Zahlen. Wie könnte man das begründen?" Machen wir wieder von vorne? :-O Hast Du denn gelesen, was ich geschrieben habe? |
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Nein, du hast doch keine Begründung angegeben, das die reelle Zahlen HP sind? |
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Die Begründung ausführlicher in http//www.mathepedia.de/Rationale_Zahlen.aspx oder http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=121489&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F |
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Für irrationale Zahlen habe ich angegeben: "Dass eine irrationale reelle Zahl mit rationalen Zahlen "angenähert" werden kann, ist ziemlich offensichtlich. Eine Zahl x=1.325234646256565.... z.B. wird durch Zahlen 1, 1.3, 1.32, 1.325, 1.3252 usw. angenähert." Aber da Du den Satz "zwischen zwei reellen gibt's eine rationale" nutzen kannst, geht es auch einfacher. Denn daraus folgt sofort, dass zwischen zwei reellen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen liegen. |
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zwischen 2 reellen Zahlen liegt eine rationale Zahl. Wie kann ich mir dann erklären, dass wenn relle Zahlen HP sind, fast alle Folgeglieder in den Umgebungen um diese Häufungspunkte liegen? |
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"Sei die Folge aller rationalen Zahlen" ist schon mal Unfug. Es gibt unendlich viele Folgen, die alle rationalen Zahlen enthalten. Wenn du nämlich irgendeine dieser Folgen hast, erhältst du durch Vertauschen einiger Elemente eine andere Folge aller rationalen Zahlen. |
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"Wie kann ich mir dann erklären, dass wenn relle Zahlen HP sind, fast alle Folgeglieder in den ε Umgebungen um diese Häufungspunkte liegen?" Kannst Du nicht, denn das stimmt nicht. Vielleicht sollst Du damit beginnen, zumindest die Definition von HP vernünftig zu lernen. |
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"ist schon mal Unfug." Nein, ist es nicht. Ist zwar nicht gut formuliert, aber gemeint ist das: da abzählbar ist, kann man es als eine Folge aufschreiben. So eine Folge ist auch gemeint. |
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Es müssen sich doch um den HP in einer Umgebung unendlich viele Glieder befinden. Jetzt habe ich einen rellen HP. Wie sehe ich, dass sich dort unendliche viele in einer kleinen Umgebung darum befinden? |
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Aussage: jede reelle Zahl ist HP von . Beweis. Sei eine beliebige reelle Zahl. Sei beliebig. Dann liegt zwischen und eine rationale Zahl : . Dann liegt zwischen und eine rationale Zahl : . Dann liegt zwischen und eine rationale Zahl : . Usw. So bekommt man eine Folge , welche komplett zwischen und liegt. Da beliebig war, ist damit ein HP von . Fertig. |
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"Es müssen sich doch um den HP in einer ε Umgebung unendlich viele Glieder befinden." Ja, das ist richtig. Aber das ist etwas ganz Anderes als "fast alle Glieder". Den Beweis habe ich oben geschrieben. |
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Ja du hast recht. Noch eins: Warum liegt eine rationale Zahl zwischen und ? |
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Ich dachte, das hättet Ihr. Dann schau im Link, den ich schon gepostet habe: http//www.mathepedia.de/Rationale_Zahlen.aspx |
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Sorry ja stimmt Dann ist alles klar:-) Ich danke dir herzlich :-) |
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