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Folgenkompaktheit

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Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

Grenzwerte

Tags: abgeschlossen, Beschränkt, Folgen, Folgenkompaktheit, Funktionalanalysis, Grenzwert, Konvergenz, Menge, Reihen

The3hadow

20:37 Uhr, 05.11.2011

Hallo!

Meine erste Frage lautet:
Ist die Folge

{{\vec{x}}_{k}}_{k \in ℕ} := (\begin{matrix} {(- 1)}^{k} \\ 0 \end{matrix})

konvergent? Also ich weiß ja schon, dass

{(- 1)}^{k}

divergiert, aber Teilfolgen davon konvergent sind:

{x_{2 k}}_{k \in ℕ}

und

{x_{2 k + 1}}_{k \in ℕ}

.
Aber was ist mit der 0? Kann man die überhaupt als eine Folge ansehen und wenn ja dann ist sie ja konvergent oder?

Und jetzt zu meinen eigentlichen Problemen, die Aufgaben lauten:

1.
Finden Sie eine beschränkte Menge

A \subset ℝ^{2}

und eine Folge

({\vec{x}}_{k}) \in A

derart, dass

({\vec{x}}_{k})

keine in A konvergente Teilfolge besitzt.

2.
Finden Sie eine abgeschlossene Menge

A \subset ℝ^{2}

und eine Folge

({\vec{x}}_{k}) \in A

derart, dass

({\vec{x}}_{k})

keine in A konvergente Teilfolge besitzt.

Im Grunde soll mit diesen zwei Aufgaben gezeigt werden, dass bei dem Satz der Folgenkompaktheit ("Eine Folge in einer kompakten, also abgeschlossen und beschränkt, Teilmenge

A \subset ℝ^{n}

hat mindestens eine konvergente Teilfolge in A") wichtig ist, dass damit der Satz gilt die Menge wirklich beide Eigenschaften erfüllen muss, also gleichzeitig abgeschlossen UND beschränkt sein muss.

Zu 1. fällt mir beim besten Willen kein Beispiel ein. Muss ich da vllt. nach einer offenen Menge suchen?

Und zu 2. hab ich folgendes, weiß aber nicht, ob das richtig ist:

A := {(x, y) \in ℝ^{2} | y = 0} \to

abgeschlossen, aber nicht beschränkt

{\vec{x}}_{k} := (\begin{matrix} 2 k \\ 0 \end{matrix})

Ist dieses Beispiel richtig? Erfüllt es die Aufgabe? Oder besitzt die Folge mit der "0" wieder eine konvergente Teilfolge?

Ich bedanke mich schonmal für etwaige Antworten! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Sina86

23:56 Uhr, 05.11.2011

Hi,

zunächst mal zu deiner genannten Folge

(x_{k})

mit

x_{k} = ((- 1)^{k}, 0)

. Gegen was sollte diese Folge denn konvergieren? Du hast ja darauf hingewiesen, dass

(- 1)^{k}

nicht konvergiert... Warum sollte dann also diese Folge konvergieren?

Dein Bsp. zu 2.) ist richtig. Allerdings solltest du noch zeigen, dass die von dir gewählte Menge auch wirklich abgeschlossen ist.

Deine Idee zu 1.) ist auch (mehr oder weniger) richtig. Es gibt einen Satz, dass wenn

(x_{k}) \subseteq A \subseteq X

eine gegen

x

konvergente Folge ist, dann ist

x \in \bar{A}

(der abgeschlossenen Hülle von A). Also entweder liegt

x

in A, oder auf dem Rand von A. Aber keinesfalls außerhalb vom Rand von A.

Eine offene Menge enthält nicht den Rand der Menge, daher würde eine solche Menge genügen. Eigentlich reicht jede Menge, in der ein einziger Randpunkt nicht enthalten ist.

Gruß
Sina

The3hadow

11:24 Uhr, 06.11.2011

Vielen Dank für deine Antwort!

Zu meiner ersten Frage:
Ah...ja...natürlich :-) ...ich hatte gestern Abend die Definitionen der Folgenkonvergenz bzw. Folgendivergenz noch nicht richtig im Kopf gehabt. Eine Folge is ja erst konvergent, wenn ALLE Komponentenfolgen konvergent sind. Auf der anderen Seite ist die Folge divergent, sobald EINE Komponente divergiert.

Zur 1. Aufgabe: Okay, eine offene und beschränkte Menge A zu finden ist jetzt nicht das Problem, aber mir fällt keine Folge

{{\vec{x}}_{k}}_{k \in ℕ} \in A

ein, die keine in A konvergente Teilfolge besitzt.

EDIT: Muss ich vllt. nach einer Folge suchen, die gegen einen Grenzwert konvergiert, der auf dem Rand der Menge liegt, welcher nicht zur Menge gehört, da ja die Menge offen ist und somit insgesamt doch nicht konvergent ist?

Sina86

12:10 Uhr, 06.11.2011

Hi,

genau das musst du tun. Probier es doch mal mit dem Interval

(0, 1]

.

Gruß
Sina

The3hadow

12:24 Uhr, 06.11.2011

Tausend Dank, Sina! :-)

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