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Folgenkonvergenz der Fibonacci Zahlen

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Algebraische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Analytische Zahlentheorie, Beweis, Elementare Zahlentheorie, Fibonacci - Zahlen, Fibonacci Folge, goldener Schnitt

FyZe-20 aktiv_icon

00:48 Uhr, 19.06.2023

Ich soll zeigen, dass die Folge

x_{n} := f_{n + 1} / f_{n}, n \in ℕ

gegen den goldenen Schnitt

Φ

konvergiert.
Dabei sollte ich zunächst zeigen, dass

∣ Φ - x_{n} ∣ = ∣ 1 + \frac{1}{Φ} - (1 + \frac{1}{x_{n - 1}}) ∣ = ∣ \frac{1}{Φ} - \frac{1}{x_{n - 1}} ∣ = \frac{∣ x_{n - 1} - Φ ∣}{Φ x_{n - 1}}

gilt. Daraus soll ich nun aber folgern, dass

∣ Φ - x_{n} ∣ \leq ∣ Φ - x_{2} ∣ / Φ^{n - 2}

gilt um daraus zu schlussfolgern, dass die Folge

(x_{n})_{n \in ℕ}

gegen

Φ

konvergiert und ich weiß nicht wirklich, wie ich das beweisen soll. Kann mir bitte jemand bei dem Problem helfen? Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Randolph Esser aktiv_icon

01:44 Uhr, 19.06.2023

Zunächst gilt

Φ = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 1 + \frac{4}{2 (\sqrt{5} + 1)} = 1 + \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = 1 + \frac{1}{Φ}

.

Damit folgt

| Φ - x_{n} | = | Φ - \frac{f_{n + 1}}{f_{n}} | = | Φ - \frac{f_{n} + f_{n - 1}}{f_{n}} | = | Φ - (1 + \frac{1}{x_{n - 1}}) |

= | 1 + \frac{1}{Φ} - (1 + \frac{1}{x_{n - 1}}) | = | \frac{1}{Φ} - \frac{1}{x_{n - 1}} | = \frac{| x_{n - 1} - Φ |}{Φ x_{n - 1}} = \frac{| x_{n - 1} - Φ |}{Φ \frac{f_{n}}{f_{n - 1}}}

und damit dann induktiv

\frac{| x_{n - 1} - Φ |}{Φ \frac{f_{n}}{f_{n - 1}}} = \frac{| x_{n - 2} - Φ |}{Φ^{2} \frac{f_{n}}{f_{n - 2}}} = \frac{| x_{n - 3} - Φ |}{Φ^{3} \frac{f_{n}}{f_{n - 3}}} = ... = \frac{| x_{2} - Φ |}{Φ^{n - 2} \frac{f_{n}}{f_{2}}} < \frac{| x_{2} - Φ |}{Φ^{n - 2}}

für alle

n \geq 3

und nun die Konvergenz wegen

| x_{n - 1} - Φ | < \frac{| x_{2} - Φ |}{Φ^{n - 2}} \to 0 (n \to \infty),

Φ > 1

.

Bem.: Die "Tricks" sind hier unter anderem
die 3. binomische Formel, die nahrhafte Null,
das Teleskopprodukt und natürlich das Nutzen der
rekursiv definierten Folgen

x_{n} := \frac{f_{n + 1}}{f_{n}}

sowie

f_{n + 2} := f_{n + 1} + f_{n}

HAL9000

10:01 Uhr, 19.06.2023

Man muss es ja nicht unbedingt verkomplizieren: Aus der Monotonie

f_{n} \leq f_{n + 1}

folgt

x_{n} \geq 1

für alle

n

, und damit zusammen mit der Berechnung von FyZe-20 die Abschätzung

∣ Φ - x_{n} ∣ = \frac{∣ x_{n - 1} - Φ ∣}{Φ x_{n - 1}} \leq \frac{1}{Φ} \cdot ∣ Φ - x_{n - 1} ∣

Per Induktion mit Start

n = 2

folgt daraus doch bereits das gesuchte

∣ Φ - x_{n} ∣ \leq \frac{1}{Φ^{n - 2}} \cdot ∣ Φ - x_{2} ∣

FyZe-20 aktiv_icon

19:05 Uhr, 19.06.2023

Vielen Dank für Hilfe!
Ich verstehe jedoch noch nicht ganz, wie man von

\frac{∣ x_{n - 1} - Φ ∣}{Φ x_{n - 1}}

mithilfe von Induktion auf

\leq \frac{∣ x_{2} - Φ ∣}{Φ^{n - 2}}

schließen kann. Warum wird aus

∣ x_{n - 1} - Φ ∣

auf einmal

∣ x_{2} - Φ ∣

im Zähler und warum bekommt das

Φ

im Nenner einen Exponenten

Φ^{n - 2}

, wenn

x_{n - 1}

im Nenner ebenfalls wegfällt?

HAL9000

19:16 Uhr, 19.06.2023

Das ist doch nun einer der simpelsten Induktionsbeweise die es gibt... aber bitte:

Induktionsanfang

n = 2

∣ Φ - x_{2} ∣ \leq \frac{1}{Φ^{2 - 2}} \cdot ∣ Φ - x_{2} ∣

ist richtig (sogar mit Gleichheit).

Induktionsvoraussetzung:

∣ Φ - x_{n} ∣ \leq \frac{1}{Φ^{n - 2}} \cdot ∣ Φ - x_{2} ∣

Induktionsbehauptung:

∣ Φ - x_{n + 1} ∣ \leq \frac{1}{Φ^{n - 1}} \cdot ∣ Φ - x_{2} ∣

.

Induktionsschritt

n \to n + 1 :

∣ Φ - x_{n + 1} ∣ \leq \frac{1}{Φ} \cdot ∣ Φ - x_{n} ∣ \overset{I V}{\leq} \frac{1}{Φ} \cdot \frac{1}{Φ^{n - 2}} \cdot ∣ Φ - x_{2} ∣ = \frac{1}{Φ^{n - 1}} \cdot ∣ Φ - x_{2} ∣

, fertig.

Salopp gesagt kommt mit jeder Indexsteigerung ein Faktor

\frac{1}{Φ}

in der Abschätzung hinzu.

P.S.: Da kann man auch mal selbst drauf kommen, wenn man so mit der Nase drauf gestoßen wird.

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