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Frage Konvergenzradius Potenzreihe Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, Konvergenzradius, Potenzreihe

Mossy aktiv_icon

11:19 Uhr, 29.08.2015

Hey
Ich habe folgende Aufgabe.
Ich verstehe nicht bei der Lösung zu Aufgabe

c)

wieso hier

R = 1

betrachtet wird, obwohl dran steht, es würde

R > 1

betrachtet werden.
Des Weiteren wird widerlegt dass

R = 1

stimmen kann, da in diesem Fall

a (n)

eine Nullfolge wäre.
Dabei ist

R = 1 (R \leq 1)

Voraussetzung der Aufgabe.
Das verwirrt mich.
Könnte es sein, dass hier ein Fehler in der Aufgabe steckt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Mossy aktiv_icon

11:21 Uhr, 29.08.2015

Foto

Mossy aktiv_icon

11:33 Uhr, 29.08.2015

Foto

DrBoogie aktiv_icon

11:52 Uhr, 29.08.2015

Man nennt es ein indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis), oder auch Reduktio ad absurdum. Das ist eine sehr häufig in Mathematik eingesetzte Beweismethode. Man nimmt das Gegenteil davon an, was man beweisen will, und zeigt, dass diese Annahme zum Widerspruch führt.

Kucke hier:
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Direkter_und_indirekter_Beweis
de.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

Mossy aktiv_icon

10:19 Uhr, 31.08.2015

Danke das ist klar, beantwortet aber nicht ganz meine Frage.

DrBoogie aktiv_icon

10:52 Uhr, 31.08.2015

Dann formulier Deine Frage klar und deutlich.

Mossy aktiv_icon

10:54 Uhr, 31.08.2015

Srry aber in meinem ersten Post hab ich mein Problem so deutlich es mir möglich war beschrieben.

DrBoogie aktiv_icon

10:58 Uhr, 31.08.2015

Sorry, dort gibt's aber gar keine Frage, nur "ich bin verwirrt".
Ich weiß nicht, wie man Dich "entwirren" kann. Weiß auch sonst niemand, denke ich.

DrBoogie aktiv_icon

11:02 Uhr, 31.08.2015

Ich versuche aber den Beweis etwas ausführlicher zu schreiben.

Annahme:

R > 1

.
Daraus folgt: für alle

x

mit

∣ x ∣ < R

konvergiert die Reihe

\sum a_{n} x^{n}

.
Insbesondere für

x = 1

konvergiert die Reihe

\sum a_{n} x^{n} = \sum a_{n} 1^{n} = \sum a_{n}

.
Daraus folgt, dass

a_{n}

eine Nullfolge ist. Das ist ein Widerspruch.
Also, ist die Annahme falsch. Damit

R \leq 1

. Fertig.

Was genau verstehst Du hier nicht?

Roman-22

11:20 Uhr, 31.08.2015

Ich glaube herausgefunden zu haben, was dich so irritiert:
Man geht bei

(c)

von

R > 1

aus und setzt dann

x = 1

und das ist ja nicht größer als 1.

Du musst die klar darüber werden, dass ein Konvergenzradius von

R

NICHT bedeutet, dass die Reihe für

x_{0} \pm R

konvergiert. Diese Grenzen sind bei Bestimmung des Konvergenzintervalls immer gesondert zu untersuchen.

Bei dir ist

x_{0} = 0

und aus

R = 1

folgt daher nicht, dass die Reihe für

x = 1

konvergiert.
Falls aber

R > 1

wäre, dann würde das bedeuten, dass auch für

x = 1

(die Stelle liegt jetzt sicher innerhalb des Konvergenzbereichs) Konvergenz vorliegt. Und genau das wird bei

(c)

auf einen Widerspruch geführt.

R

Mossy aktiv_icon

11:32 Uhr, 31.08.2015

Vielen Dank, Roman. Das meinte ich.
Was würde

R \leq 1

in Intervallen ausgedrückt bedeuten?

R = [- \frac{1}{2}; + \frac{1}{2}]

? Bzw

R = [x 0 - \frac{1}{2}; x 0 + \frac{1}{2}]

?
Oder ganz anders?

DrBoogie aktiv_icon

11:38 Uhr, 31.08.2015

R \leq 1

bedeutet im Intervall ausgedrückt

R \in [0, 1]

(denn

R

kann nicht negativ sein).

Aber vermutlich wolltest Du wieder was Anderes fragen.
Da sind wohl wieder Romans hellseherische Fähigkeiten gefragt. :-)

Mossy aktiv_icon

11:58 Uhr, 31.08.2015

Ah okay, da hab ich wohl Basiswissen über den Konvergenzradius nicht erlangen können.
Jetzt mit Hilfe meines Skripts verstanden, was ihr meint.
Vielen Dank! :-)

Mossy aktiv_icon

11:59 Uhr, 31.08.2015

Ah okay, da hab ich wohl Basiswissen über den Konvergenzradius nicht erlangen können.
Jetzt mit Hilfe meines Skripts verstanden, was ihr meint.
Vielen Dank! :-)

Roman-22

12:22 Uhr, 31.08.2015

>

Da sind wohl wieder Romans hellseherische Fähigkeiten gefragt. :-)
Es geht nichts über eine frisch polierte Kristallkugel ;-)

Ich denke, dass Mossy wieder Konvergenzradius und Konvergenzbereich verwechselt hat, was bei dieser Aufgabe wohl daran liegt, dass

R

hier nicht so deutlich als konstanter Skalar erkennbar ist, da er abhängig von

a_{n}

ist.

Aber zum Glück scheint ein Blick ins Skriptum mehr Klarheit gebracht zu haben.
Vielleicht sollten wir hier öfter dazu raten :-)

Trotzdem nur zur Sicherheit:

R \leq 1

bedeutet, dass jede Reihe der gegebenen Bauart sicher für

x \in (- R; R)

mit

R \in [0,1]

konvergent ist. Ob für

x = \pm R

auch Konvergenz vorliegt muss im konkreten Fall eigens untersucht werden.
Der konkrete Wert von

R

hängt natürlich davon ab, welche konkrete Reihe man vorliegen hat.

R

1251098

1250926

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