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Frage Potenzreihen Aufgabe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, Kovergenzradius, lim, Potenzreihe

Mossy aktiv_icon

16:34 Uhr, 12.08.2015

Hey ihr
Ich scheitere an derangehängten Aufgabe (Nr4).
Muss ich da nicht das

x

irgendwie isolieren?
Finde keinen Lösungsweg.
Was übersehe ich?

Danke für Hilfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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Roman-22

18:06 Uhr, 12.08.2015

Du sollst hier bloß den Konvergenzbereich der gegebenen Reihen bestimmen.
Sagt dir im Zusammenhang mit Potenzreihen vielleicht der Begriff Konvergenzradius etwas und weißt du, wie man auf diese "Formel" kommt?
Versuche für die gegebene Reihe analog das Quotientienkriterium.

R

Mossy aktiv_icon

18:56 Uhr, 12.08.2015

Konvergenzradius ist klar aber sowohl für Cauchyhadanard als auch für Quotientenkriterium brauch ich doch das

x^{n}

oder x_xo am Ende stehen damit ich nur den Limes der Folge an berechne.?
Oder gibt es da einen anderen Weg?
Danke für die Hilfe.
(wie gesagt: die zweite Aufgabe auf dem Bild)

ledum aktiv_icon

23:34 Uhr, 12.08.2015

Hallo

\frac{{(2 x)}^{n}}{1 + x^{2} n} < (2 \frac{x^{n}}{x^{2}} n = {(\frac{2}{x})}^{n} d . h

wenn die Reihe konvergiert, dann auch die ursprüngliche. aber für große

x

ist die Differenz

| \frac{2}{x})^{n} - \frac{{(2 x)}^{n}}{1 - x^{2} n} |

vernachlässigbar. nur x=2musst du einzeln diskutieren
wenn du

q

statt

x

schreibst denkst du vielleich einfach an eine Reihe und nicht an eine Potenzreihe für

a_{n} \cdot x^{n}

Gruß ledum

ledum aktiv_icon

23:34 Uhr, 12.08.2015

Hallo

\frac{{(2 x)}^{n}}{1 + x^{2} n} < \frac{{(2 x)}^{n}}{x^{2 n}} = {(\frac{2}{x})}^{n} d . h

wenn die Reihe konvergiert, dann auch die ursprüngliche. aber für große

x

ist die Differenz

{(\frac{2}{x})}^{n} - \frac{{(2 x)}^{n}}{1 - x^{2 n}}

vernachlässigbar. nur x=2musst du einzeln diskutieren
wenn du

q

statt

x

schreibst denkst du vielleicht einfach an eine Reihe und nicht an eine Potenzreihe für

a_{n} \cdot x^{n}

Gruß ledum

Roman-22

03:24 Uhr, 13.08.2015

"
Konvergenzradius ist klar aber sowohl für Cauchyhadanard als auch für Quotientenkriterium brauch ich doch das xn oder x_xo am Ende stehen damit ich nur den Limes der Folge an berechne.?
"

Naja, Quotientenkriterium ist natürlich sehrwohl anwendbar und ich hab ja auch nicht gemeint, dass du die Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe hier anwenden sollst - es ist ja keine Potenzreihe und der Konvergenzbereich ist hier auch nicht zusammenhängend sondern besteht aus drei getrennten Bereichen.

Was ich meinte ist, dass du genau so vorgehen könntest, wie man vorgehen kann, um die bekannte Formel für den Konvergenzbereich einer Potenzreihe mittels Anwendung des Quotientenkriteriums herzuleiten. Die Grenzen sind dann wie üblich gesondert zu untersuchen.

Die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

ist sicher konvergent, wenn

lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | < 1

ist.
Wir setzen nun

a_{n} = \frac{{(2 x)}^{n}}{1 + x^{2 n}}

und kommen nach ein wenig vereinfachen auf

2 \cdot | x | \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1 + {(x^{2})}^{n}}{1 + {(x^{2})}^{n + 1}} < 1

Für

| x | \leq 1

ist dieser Grenzwert

2 \cdot | x |

und wir haben Konvergenz für

| x | < \frac{1}{2}

Für

| x | \geq 1

ist der Gernzwert

\frac{2}{| x |}

und damit Konvergenz für

| x | > 2

.

Jetzt musst du nur noch die vier Fälle mit

| x | = \frac{1}{2}

bzw.

| x | = 2

untersuchen und hast den Konvergenzbereich ermittelt.

Gruß

R

P . S . :

Alternativ kannst du natürlich auch analog mit dem Wurzelkriterium vorgehen.

Mossy aktiv_icon

13:36 Uhr, 13.08.2015

Vielen Dank für eure Hilfe
Jetzt habe ich noch zwei Fragen.
Einmal steh ich völlig auf dem Schlauch,bzgl. Wie untersuche ich nun die Grenzen des Konvergenzbereiches

z . B

| x | = 2

Und wie kommst du R. auf dieses

x < \frac{1}{2}

für

x \leq 1

?

Danke schön mal! Lg

ledum aktiv_icon

16:02 Uhr, 13.08.2015

Hallo
zur ersten Frage:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = x \cdot \frac{1 + x^{2 n}}{1 + x^{2 n + 2}}

für

x < 1

gilt

x^{2 n + 2} < x^{2 n}

also

= x \cdot \frac{1 + x^{2 n}}{1 + x^{2 n + 2} \leq x \cdot \frac{1 + x^{2 n}}{1 + x^{2 n}}}

Nenner vergrößert Bruch verkleinert)
zu der 2. frage: setze die Werte

x = 2

und

x = \frac{1}{2}

in die Reihe ein und sieh ob du eine Minorante oder Majorante findest.
Gruss ledum

Roman-22

17:30 Uhr, 13.08.2015

Zur Frage 1
" Einmal steh ich völlig auf dem Schlauch,bzgl. Wie untersuche ich nun die Grenzen des Konvergenzbereiches $z . B$ . $| x | = 2$ "

In dem du die Reihen für

x = 2

und

x = - 2

anschreibst und auf Konvergenz untersucht.
Mag sein, dass du divergente Minoranten finden kannst, wie ledum vorgeschlagen hat, aber hier (und auch für die Fälle

x = \pm \frac{1}{2})

reicht bereits das Leibnizkriterium aus.

ZB führt

x = 2

auf die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{4^{n}}{1 + 4^{n}}

. Die Glieder dieser Reihe bilden keine Nullfolge

(lim_{n \to \infty} \frac{4^{n}}{1 + 4^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{4^{n}} + 1} = 1)

und damit kann die Reihe nicht konvergent sein. Für

x = - 2

erhältst du im Wesentlichen die gleiche Reihe, nur mit alternierenden Vorzeichen. Die Glieder bilden daher wieder keine Nullfolge.

Zur Frage 2
" Und wie kommst du R. auf dieses $x < \frac{1}{2}$ für x≤1? "

Genauer:

| x | < \frac{1}{2}

Es geht um die Auflösung der angegebenen Ungleichung (nach Bestimmung des Grenzwerts) nach

x :

Für

| x | < 1

streben die beiden Potenzen von

x

gegen Null und der gesamte Grenzwert gegen 1. Übrig bleibt

2 \cdot | x | \cdot 1 < 1

und daraus folgt

| x | < \frac{1}{2}

Gruß

R

Mossy aktiv_icon

08:55 Uhr, 19.08.2015

Könnte eine hier noch drüber schauen ob ich die Grenzbereiche richtig angeschaut habe?

Mossy aktiv_icon

09:13 Uhr, 19.08.2015

x = \frac{1}{2} :

an=

\frac{1}{2} 〉

an divergiert.

X = - \frac{1}{2}

analog

X = 2 :

an strebt gegen 1 >>monoton steigend mit Grenzwert 1 >>konvergiert

X = - 2 :

n

gerade: analog

n

ungerade:
an strebt gegen

- 1

>>monoton fallend mit Grenzwert

- 1

>>konvergiert

〉 >

Konvergenzbereiches ist

[- 2; - \frac{1}{2})

und

(\frac{1}{2}; 2]

Irgendwas stimmt da aber doch nicht oder? Was mach ich mit dem Bereich für

x < + \frac{1}{2}

? Oder muss ich zwei Bereiche bestimmen für

x < 1

und

x > 1

Respon

09:30 Uhr, 19.08.2015

Aber Roman hat dir doch oben schon die Lösung gezeigt.
Mit dem Quotientenkriterium kommst du zu

2 \cdot | x | \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1 + {(x^{2})}^{n}}{1 + {(x^{2})}^{n + 1}} < 1

Damit der hier vorkommende

lim

überhaupt konvergiert, müssen wir vorerst

| x | < 1

voraussetzen, denn dann ist

lim_{n \to \infty} \frac{1 + {(x^{2})}^{n}}{1 + {(x^{2})}^{n + 1}} = 1

Also

| x | < 1 \Rightarrow 2 \cdot | x | \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1 + {(x^{2})}^{n}}{1 + {(x^{2})}^{n + 1}} = 2 \cdot | x | \cdot 1

Wegen des Quotientenkriteriums soll das nun

< 1

sein.

\Rightarrow 2 \cdot | x | \cdot 1 < 1 \Rightarrow | x | < \frac{1}{2}

Oder als Intervall

(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

Roman-22

12:53 Uhr, 20.08.2015

@Respon: Der Grenzwert ist auch für

| x | > 2

kleiner als

1,

wie weiter oben detaillierter ausgeführt.

@Mossy: Die Gesamtlösung, also der gesuchte Konvergenzbereich, ist

{x \in ℝ | | x | < \frac{1}{2} \lor | x | > 2}

oder mit Intervallen:

(- \infty; - 2) \cup (- \frac{1}{2}; + \frac{1}{2}) \cup (+ 2; + \infty)

Ich verstehe nicht ganz, was dir an den obigen Ausführungen noch unklar ist.

R

Mossy aktiv_icon

11:08 Uhr, 29.08.2015

Das wollte ich wissen. Vielen Dank.
Letzte Frage: da an bei

| x | = 2

konvergiert, müsste in der Intervall-Ĺösung bei 2 und

- 2

statt einer runden eine eckige Klammer sein oder? Analog in der Mengenlösung

| x | \geq 2

stehen?

Lg

ledum aktiv_icon

19:34 Uhr, 29.08.2015

Hallo
wie kommst du darauf, dass die Reihe für

x = 2

oder

- 2

konvergiert, die Summanden bilden doch nicht mal eine Nullfolge, wie dir auch schon gesagt wurde.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

19:34 Uhr, 29.08.2015

Hallo
wie kommst du darauf, dass die Reihe für

x = 2

oder

- 2

konvergiert, die Summanden bilden doch nicht mal eine Nullfolge, wie dir auch schon gesagt wurde.
Gruß ledum

Mossy aktiv_icon

19:55 Uhr, 29.08.2015

Wieso muss es denn eine Nullfolge sein um zu konvergieren?

Roman-22

20:27 Uhr, 29.08.2015

>

Wieso muss es denn eine Nullfolge sein um zu konvergieren?

Dass die Beträge der Glieder eine unendlichen Reihe eine Nullfolge bilden ist ein recht elementares notwendiges (aber nicht hinreichendes) Kriterium für Konvergenz.
de.wikipedia.org/wiki/Nullfolgenkriterium

Bei alternierenden Reihen wird dann daraus zusammen mit der Forderung nach Monotonie das notwendige und auch hinreichende Leibniz-Kriterium.

Es sollte auch anschaulich klar sein, dass kein endlicher Summen-/Grenzwert zu erwarten ist, wenn unendlich viele, wenn auch noch so kleine, aber eben nicht gegen Null strebende, Werte addiert werden.

Du hast auch die Frage, warum du glaubst, dass für

x = \pm 2

Konvergenz vorliegen würde, nicht beantwortet.

R

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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