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Frage zu Vereinfachung von Funktion

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Limes Bruchrechnung, unendlichkeit

MaxWil aktiv_icon

16:20 Uhr, 15.04.2024

Kann mir Jemand erklären, wie die Funktion hier vereinfacht wurde (Wurde ein Wert hier multipliziert?) und was die Regel ist, die in Schritt 4 angewendet wurde?

Ich bedanke mich schonmal im vorhinein schonmal bei jedem der mir helfen kann.

Aufgabe ist im Bild zu sehen.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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KL700 aktiv_icon

16:32 Uhr, 15.04.2024

1. Es wurde

x

ausgeklammert

2. Es wurde mit

x

gekürzt.

3.

\frac{7}{x}

und

\frac{3}{x}

gehen gegen 0 für

x \to - \infty,

sie fallen raus

4. Es wurden Teilbrüche gebildet.

\frac{a - b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}

5. Es wird nur die höchste Potenz betrachtet:

- 8 x^{2}

Die geht wegen dem Minus gegen

- \infty

. Den Nenner 3 kann man vernachlässigen.

MaxWil aktiv_icon

16:34 Uhr, 15.04.2024

Danke, jetzt versteh ichs.

calc007

16:36 Uhr, 15.04.2024

Na ja, der Lösungsvorschlag ist natürlich auch ein wenig eigenwillig.
Am ehesten kommt man dem Gedankengang des Autors nahe, indem man annimmt,
dass der Grenzübergang für Zähler und Nenner getrennt und nacheinander durchgeführt wurde,
etwa:

lim \frac{- 8 \cdot x^{2} - 7 \cdot x - \frac{7}{x} - 2}{3 - \frac{3}{x}} = \frac{lim (- 8 \cdot x^{2} - 7 \cdot x - \frac{7}{x} - 2)}{lim (3 - \frac{3}{x})} = \frac{lim (- 8 \cdot x^{2} - 7 \cdot x - \frac{7}{x} - 2)}{3} = . .

HAL9000

15:05 Uhr, 16.04.2024

> Na ja, der Lösungsvorschlag ist natürlich auch ein wenig eigenwillig.

Er ist sogar regelrecht schlecht zu nennen, weil er nicht als Blaupause für ähnliche gebrochen rationale Funktionen taugt: Man stelle sich nur vor, im Zähler hätte

+ 7 x^{2}

statt

- 7 x^{2}

gestanden - schon wäre die gesamte Argumentation zusammengebrochen wegen

- \infty + \infty = undefined

...

Das geht besser, z.B. durch das oben schon angesprochenen Ausklammern der jeweils höchsten Potenzen in Zähler wie Nenner und dann Grenzwertbetrachtung des Restbruches.

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