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Fragen zur Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Grenzwerte

Tags: Funktionenreihen, Grenzwert

Regenschirm2014 aktiv_icon

02:47 Uhr, 20.02.2014

Moin,

Hab da 2 Fragen bezüglich der Konvergenz.

Habe eine Folge mit 2 Grenzwerten ausgerechnet:

lim_{n \to \infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{3}{2}

Ich soll mich nun entscheiden ob diese Folge konvergent, uneigentlich konvergent oder nicht konvergent ist.

Da diese Folge für gerade

n

gegen

\frac{3}{2}

und für ungerade

n

gegen

- \frac{3}{2}

konvergiert (also 2 Grenzwerte hat), ist diese doch nicht konvergent oder?

Nun zur 2. Frage: Habe eine Taylorreihe berechnet und herausgefunden für welche

x

diese Konvergiert. Jetzt muss ich nur noch die Randpunkte untersuchen.

\sum_{k}^{\infty} {(- 1)}^{k} \cdot 3 {(x - 4)}^{k}

Diese Reihe konvergiert für xE(3;5)

Für

x = 3

lim_{k \to \infty} {(- 1)}^{k} \cdot 3 \cdot {(- 1)}^{k}

wie fasse ich diese

{(- 1)}^{k}

jetzt korrekt zusammen? ist doch

{(- 1)}^{2 k}

oder?
In meinen Augen konvergiert diese Reihe also gegen 3

Die Lösung sagt mir aber, dass das Reiheninnere nicht gegen 0 konvergiert und dsw die ganze Reihe nicht konvergiert (was ist hier das Reiheninnere?)

Für

x = 5

lim_{k \to \infty} {(- 1)}^{k} \cdot 3 {(1)}^{k}

lim_{k \to \infty} {(- 1)}^{k} \cdot 3

Hat demnach 2 Grenzwerte und konvergiert nicht.

Die Lösung argumentiert aber wie oben, da dass Reiheninnere nicht konvergiert.....
Was ist hier das Reiheninnere?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

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Bummerang

06:56 Uhr, 20.02.2014

Hallo,

"Habe eine Folge mit 2 Grenzwerten ausgerechnet" - Kann nicht sein! Bei Grenzwerten gilt das Highlander-Prinzip, es kann nur einen geben! Bitte schau Dir die Definition eines Grenzwertes noch einmal genau an, damit Du erkennst, dass diese beiden von Dir ermittelten Werte keine Grenzwerte sind. Schau Dir zur Abgrenzung der Begriffe auch noch mal die Definition von Häufungspunkten an und erkenne und verstehe den Unterschied! Da die Folge keinen Grenzweert hat, ist sie natürlich auch nicht konvergent, auch nicht uneigentlich konvergent!

Bei der zweiten Aufgabe schreibst Du: "In meinen Augen konvergiert diese Reihe also gegen 3" - Das ist natürlich falsch, denn die Reihe divergiert gegen

+ \infty

. Manchmal sagt man auch, dass sie "bestimmt divergiert" oder "uneigentlich konvergiert", ich ziehe da eher die bestimmte Divergenz vor, denn es ist eher verwirrend eine Form der Divergenz durch einen Begriff zu bezeichnen, der das Wort "Konvergenz" enthält! Was gegen 3 konvergiert, ist die Zahlenfolge, die der Reihe zugrunde liegt. Diese Folge konvergiert gegen 3 und damit ist das Trivialkriterium für die Konvergenz der Reihe, nämlich die Konvergenz der Folge gegen Null, nicht erfüllt. Auch hier scheinen Dir die Begriffe und deren Unterschied nicht hundertprozentig klar zu sein,

d . h

. auch bei den Begriffen Folge/Zahlenfolge und Reihe täte Dir ein Blick auf die Definitionen echt gut!

Der Begriff "Reiheninneres" ist mir noch nie begegnet, wenn Du also wissen willst, was hier das Reiheninnere ist, dann gib doch mal die Definition dieses Begriffes hier zum besten, dann kann Dir das sicher jemand für dieses Beispiel erklären! Allerdings vermute ich, dass bei der bisher gezeigten Schwäche bei Definitionen der Begriff Reiheninneres eher eine Wortschöpfung von Dir ist, hinter der es keine mathematische Definition gibt.

Regenschirm2014 aktiv_icon

07:17 Uhr, 20.02.2014

Bzgl. dem "doppelten Grenzwert". Genau das war ja meine Überlegung, dass es aufgrund dessen nicht konvergent ist. Wollte eigentlich nur wissen ob meine Überlegung hier richtig ist. Hier kann man dann natürlich nicht mehr von einem Grenzwert sprechen. Ist mir jetzt auch einleuchtend.

Bzgl. der Reihe, hast du mir die Augen geöffnet, sass wohl heute zu lang vor Mathe. Habe auch außer Acht gelassen, dass die Reihe aus aufsummierten Folgen besteht xD. "Diese Folge konvergiert gegen 3 und damit ist das Trivialkriterium für die Konvergenz der Reihe, nämlich die Konvergenz der Folge gegen Null, nicht erfüllt" Macht völlig Sinn xD.

Das "Reiheninnere" ist kein von mir geprägter Begriff, der stand so auf unserem Lösungsblatt. Zitat:
"Fu ̈r

x = 3

und

x = 5

ist Einzelfallbetrachtung notwendig. Einsetzen dieser Zahlen in die Reihe liefert und aber sehr schnell, dass diese speziellen Reihen nicht konvergieren, da das Reiheninnere nicht gegen null konvergiert."

In Verbindung mit deinem Satz oben, ist mir jetzt allerdings klar man mit "Reiheninnerem" meinte... und zwar die Folge, die nicht gegen 0 konvergiert xD.

Super, hast mir auf jeden Fall geholfen!

Vielen Dank!

Regenschirm2014 aktiv_icon

07:19 Uhr, 20.02.2014

Frage ist natürlich beantwortet!

Regenschirm2014 aktiv_icon

07:20 Uhr, 20.02.2014

Hatte was in meinem Text verbessert, kann schon gar nicht mehr klar denken. Jetzt ist die Frage aber endgültig beantwortet

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