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Funktion in Reihe umwandeln

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Folgen und Reihen

Funktionen

Tags: Exponentialfunktion, Exponentialreihe, Folgen und Reihen, Funktion, potenzreihen

agricola7 aktiv_icon

11:29 Uhr, 09.02.2019

Hallo,

ich habe eine Aufgabe bei der ich die Koeffizienten

a_{2 n}

und

a_{2 n + 1}

der Potenzreihendarstellung von

e^{{(3 x)}^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

angeben.

Nun würde ich gern wissen wie ich diese Funktion in die Form einer Potenzreihe bringen kann.

Ich weiß, dass die Exponentialreihe gleich

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

ist also sollte

e^{{(3 x)}^{2}}

doch durch

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!} \cdot {(x^{2})}^{n}

dargestellt werden können.

Aber jetzt habe ich hier

{(x^{2})}^{n}

stehen und nicht

x^{n}

. Was der Angabe nach ja nicht korrekt wäre.

Meine Frage: gibt es evtl eine andere Möglichkeit (evtl. Maclaurin Reihe) mit der ich

e^{{(3 x)}^{2}}

in die Form

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

bringen kann?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

agricola7 aktiv_icon

11:43 Uhr, 09.02.2019

Entschuldigung für den Fehler bei der Klammersetzung ich meine selbstverständlich

e^{3 x^{2}}

abakus

11:43 Uhr, 09.02.2019

Kleiner Tipp: (3x)²=9x².
In der Potenzreihe kommen beim Einsetzen von 9x² garantiert nur Potenzen mit geraden Exponenten vor.

a_{2 n + 1}

ist also schon mal 0.

PS: Auch wenn es nach deiner Korrektor nur 3x² sind, gilt meine Aussage zu

a_{2 n + 1}

immer noch.

agricola7 aktiv_icon

10:15 Uhr, 10.02.2019

Hallo abakus,
Danke für deine hilfreiche Antwort!

Und wie sollte dann der Koeffizienten für

a_{2 n}

aussehen?

agricola7 aktiv_icon

10:24 Uhr, 10.02.2019

Wobei ganz zustimmen tu ich dir da nicht.

Da der Koeffizienten

a_{n}

grundsätzlich unabhängig von

x

ist muss es sehr wohl ein

a_{2 n + 1}

geben.

Mein Problem bei der ganzen Sache ist einzig und alleine das Finden der entsprechenden Potenzreihe aus der ich dann das

a_{n}

ablesen kann

abakus

10:26 Uhr, 10.02.2019

Ich habe doch nicht bestritten, dass es einen Koeffizienten mit ungeradem Index gibt.
Den gibt es, und er ist 0.

agricola7 aktiv_icon

11:09 Uhr, 10.02.2019

Sry. Ja du hast natürlich recht!

Und was würdest du für den Koeffizienten

a_{2 n}

angeben?

ledum aktiv_icon

11:53 Uhr, 10.02.2019

Hallo
einfach den Koeffizienten der bei

x^{2 n}

steht!
Gruß ledum

Roman-22

11:54 Uhr, 10.02.2019

>

Und was würdest du für den Koeffizienten

a 2 n

angeben?
Das hast du doch schon in deinem ersten Post selbst gemacht, schließlich ist

{(x^{2})}^{n} = x^{2 n}

;-)

a_{2 n} = \frac{3^{n}}{n!}

agricola7 aktiv_icon

15:43 Uhr, 10.02.2019

Ja aber dann steht meine Potenzreihe nicht in der Form

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

sondern in der Form

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} {(x)}^{2 n}

da

Das mag zwar richtig sein aber in der Angabe aus der ich diese Frage habe wird die Form

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

verlangt

Ich hätte an eine Darstellung durch eine Maclaurin Reihe gedacht.

agricola7 aktiv_icon

15:44 Uhr, 10.02.2019

Ok sry. Ich versteh schon was du meinst war ein Denkfehler von mir ;-)

Danke hab’s jetzt

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