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Funktion mit 2 Argumenten stetig fortsetzen

Schüler

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Natürlicher Logarithmus, Stetige Fortsetzung, stetige Funktion

mar1k aktiv_icon

11:34 Uhr, 16.05.2010

Moin Leute.

Komme mit einer Aufgabe nicht klar: Wir sollen die Funktion

$f (x, y) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2})$

so fortsetzen, dass diese auch in (0,0) stetig ist (ursprünglich ist diese also nicht in (0,0) definiert).

So wie ich das verstehe muss der Grenzwert

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{1}{2} \ln (x^{2} + y^{2})$

berechnet werden.

Ich habe aber leider keinen sinnvollen Ansatz um das zu lösen.

Bei einfacheren Grenzwerten mit mehreren Argumenten haben wir vorher einfach eine größere Funktion gesucht die einen einfach zu berechnenden Grenzwert besitzt, z.B.

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} * y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \leq \lim_{(x, y) \to (0, 0)} x^{2} + y^{2} = 0$

hoffe jemand kann mir eine Idee (ein Denkanstoss reicht schon) geben wie ich bei dieser Aufgabe auf eine Lösung dieser Art komme (oder eine andere Art, aber bessser etwas in die Richtung)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Honig1 aktiv_icon

11:38 Uhr, 16.05.2010

Ich mag mich täuschen. Aber diese Funktion ist nich stetig fortsetztbar in (0,0), da

f (x, 0) = \frac{1}{2} \ln (x^{2}) = \ln (x) \to - \infty

da schon bei Annäherung auf der x-Achse minus Unendlich als Grenzwert rauskommt, muss, wenn der GW existiert, der Grenzwert auch minus Unendlich sein.

mar1k aktiv_icon

11:49 Uhr, 16.05.2010

Bist du dir sicher, dass man einfach eine Variable fest machen kann und mit der anderen weiterarbeiten? Sorry, das Thema (Funktionen mit mehreren Argumenten) ist für mich neu, hab da extrem wenig Ahnung :)

Honig1 aktiv_icon

12:00 Uhr, 16.05.2010

Achso, dann sag ich ma kurz was dazu.
Du darfst, wenn du den Grenzwert gegen (0,0) betrachtest tatsächlich den Grenwert von f(x,0) als Hilfsgrenzwert bestimmen. Du sagst praktisch: Ich lass mein y konstant auf 0. Alle Funktionswerte die du jetzt anschaust liegen nur auf der x-Achse (oder besser sie liegen auf der Ebene der x und z-Achse). Du betrachtest jetzt wieder eine ganz "normale" Funktion von R nach R. Die Funktionswerte sind natürlich nur ein kleiner Teil aller Funktionswerte von f, aber da ja beim Grenzwert alle Funktionswerte, auch die auf der x,z Ebene, gegen den selben Wert "laufen" müssen, gilt auf jedenfall:

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = a

und existiert

\overset{}{\Rightarrow} lim_{x \to 0} f (x, 0) = a

Das bedeutet, wenn du den Grenzwert von

f (x, 0)

kennst, dann muss der Grenzwert von

f (x, y)

, sofern er existiert den selben Wert haben!

mar1k aktiv_icon

12:07 Uhr, 16.05.2010

Jop, das hilft mir weiter.

Vielen Dank für deine Mühe :)

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