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Funktionen in R^2: Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Grenzwert, Stetigkeit

student11 aktiv_icon

14:34 Uhr, 22.06.2012

Hallo zusammen

Um Funktionen in

R^{2}

auf Stetigkeit zu untersuchen, ist der Wechsel auf Polarkoordinaten oft sinnvoll..

Ich habe es nun aber ohne versucht, und irgendwie klappt es einfahc nicht so wirklich..

Aus den Polarkoordinaten-Lösung schliesse ich, dass

f (x) = \frac{x \cdot y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

für

x \neq 0

und 0 für

x = 0

nicht stetig ist, da

lim cos (t) \cdot {sin (t)}^{3} \neq 0

für

t \to 0

Dies kann ich zeigen, in dem ich 2 beliebige gegen 0 konvergierende Folgen für

x, y

einsetze, sodass der Wert nicht 0 ist..

\frac{\frac{1}{n} \cdot {(\frac{1}{n})}^{3}}{{({(\frac{1}{n})}^{2} + {(\frac{1}{n})}^{2})}^{2}} = \frac{{(\frac{1}{n})}^{4}}{4 \cdot {(\frac{1}{n})}^{4}} \to \frac{1}{4} \neq 0,

also nicht stetig..

Möchte ich zeigen, dass eine Funktion stetig ist, muss ich aber anders vorgehen. Dazu muss ich den Betrag abschätzen (ode gibt es noch andere Möglichkeiten?)

f (x) = \frac{x^{3} \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

| f (x) | = | \frac{x^{3} \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} |

Da ja aber

x

und

y

ziemlich nahe bei 0 sein können, ist es doch irgendwie schwierig die Quadrate abschätzen zu können, denn Quadrieren kann die Werte ja auch verkleinern?

Wie kom ich da weiter? Welche hilfreichen Tricks gibt es hier?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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hagman aktiv_icon

17:10 Uhr, 22.06.2012

Hier greift doch gerade deine Polarkoordinatenidee prima:

\frac{x^{3} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{r^{3} {cos}^{3} (φ) \cdot r^{2} {sin}^{2} (φ)}{{(r^{2})}^{2}} = r \cdot {cos}^{3} (φ) {sin}^{2} (φ) \to 0

für

r \to 0

student11 aktiv_icon

17:12 Uhr, 22.06.2012

Mhm.. Mit Polarkoordinaten hatte ich es schon gelöst.. Wollte nur wissen, ob es eine gute Alternative gibt, denn eigentlich hatten wir in der Vorlesung nie mit Polarkoordinaten gearbeitet.. Und ich weiss nicht, ob ich das dann an der Prüfung verwenden darf.. Und wenn ja nicht Stetigkeit im Ursprung untersucht werden muss, sind Polarkoordinaten sowieso nicht mehr hilfreich, oder?

MIt welchen Tricks kann man dann umformen?

hagman aktiv_icon

14:08 Uhr, 23.06.2012

Es gilt

x^{2} \leq x^{2} + y^{2}, y^{2} \leq x^{2} + y^{2},

also

| \frac{x^{3} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} | \leq | \frac{x \cdot (x^{2} + y^{2}) \cdot (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} | = | x |

für

(x, y) \neq (0,0)

.
Für

(x, y) \to (0,0)

gilt auch

| x | \to 0,

also erst recht

| \frac{x^{3} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} | \to 0

student11 aktiv_icon

18:56 Uhr, 23.06.2012

Super, vielen Dank..

Also ist

x^{2} \leq x^{2} + y^{2}

wohl eine häufig verwendete Abschätzung..

Gibt es noch andere, die sich in ähnlichen Fällen besonders gut eignen?

hagman aktiv_icon

14:05 Uhr, 25.06.2012

Naja,

x^{2} \leq x^{2} + y^{2}

ist ja letztlich nur, dass Quadrate positiv sind.
Wichtige sonstige Ungleichungen sind die Ungleichungen zwischen arithmetischem, geometrischem, harmonischem Mittel, Bernoulli-Ungleichung,

e^{x} \geq 1 + x, . .

student11 aktiv_icon

14:38 Uhr, 25.06.2012

Super.. Habe meine Formelsammlung nun um diese Ungleichungen erweitert..

Was ich mir noch gemerkt habe, falls es jemand interessiert:

Praktische Art, Ungleichungen zu finden (und/oder beweisen):

- Mittelwertsatz
- Potenzreihenentwicklung: falls monoton

\Rightarrow

Abschätzung nach oben durch erste paar Glieder

\Rightarrow

ähnlich wie Bernoulli-Ungleichung..

student11 aktiv_icon

15:44 Uhr, 25.06.2012

Habe trotzdem noch eine Frage:

Weisst du gerade, wie man die Differentierbarkeit zeigen kann:

f (x) = {\frac{x \cdot y \cdot (x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0), 0

sonst

Nun wollte ich zeigen (oder widerlegen), dass

f

im Nullpunkt differentierbar ist.

\frac{\frac{x \cdot y \cdot (x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - 0}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{x \cdot y \cdot (x^{2} - y^{2})}{{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{3}}

Gibt es hier eine einfache Abschätzung, die schnell zum Ziel führt? (was das auch immer sein mag.. :-D) )

Ich dachte eventuell an

| x \cdot y | \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{2},

aber irgendwie bin ich mir nicht wirklich sicher..

Vielen Dank für eure Hilfe..

pwmeyer aktiv_icon

09:38 Uhr, 02.07.2012

Hallo,

der einfachs Weg ist wohl, die obige Abschätzung zu nutzen, also

| x | \leq r

und

| y | \leq r

mit

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} :

| \frac{x \cdot y \cdot (x^{2} - y^{2})}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{3}} | = \frac{| x \cdot y \cdot (x^{2} - y^{2}) |}{r^{3}} \leq \frac{r \cdot r \cdot (r^{2} + r^{2})}{r^{3}} = r

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

09:40 Uhr, 02.07.2012

Und da

r

gegen 0 geht, geht der ganze Term gegen 0 und die Funktion ist somit im Nullpunkt differenzierbar.. Oder?

Gibt es eigentlich auch Standardaufgaben für Stetigkeit, Differenzierbarkeit in

R^{n},

die sich nicht auf den Nullpunkt beziehen? Habe noch nie eine solche Aufgabe gefunden.. Scheint schon am einfachsten zu sein?

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