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Funktionsreihe
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Grenzwerte
Tags: Differenzierbarkeit, Funktion, Funktionenreihen, Grenzwert, Majorantenkriterium????
 
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Hallo, ich habe folgende Funktionsreihe: Ich soll untersuchen, ob stetig differenzierbar ist. Dabei versuche ich mit dem Weierstraßer Majorantenkriterium zu argumentieren: Wenn ich so abschätzen könnte: hätte ich eine absolut und gleichmäßig konvergente Reihe. Als unmittelbare Folgerung aus der gleichmäßigen Konvergenz konvergiert die Funktionsfolge gegen 0. Dann hätte ich die Stetigkeit. Wenn ich abschätze, bekomme ich die Reihe über die ja nicht konvergiert. Wo ist der Fehler? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Einführung Funktionen Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Abschätzung ist zu grob. Nutze . |
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ok dann wäre mein Dann bietet sich eine Fallunterscheidung an: Divergenz Konvergenz Auch divergenz? |
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Nein, falsch. Du muss meine Ungleichung richtig nutzen. |
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Dann doch so: Also dann die Reihe darüber oder? |
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Na ja, dass ist keine s, sie werden nur durch abgeschätzt (Betrag nicht vergessen). Aber das reicht für die majorante Konvergenz, zumindest in jeden endlichen Intervall. |
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Ja stimmt der Formalismus hinkt :-) Heißt das, dass die Reihe auf beliebigen Teilemenge von gleichmäßige konvergiert, solange diese nicht unendlich sind? |
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Ja, gleichmäßig auf jeder beschränkten Menge. |
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Wie argumentiere ich jetzt, dass die Funktion stetig ist? |
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Gleichmäßiger Grenzwert von stetigen Funktionen ist doch automatisch stetig. Satz 9.6: www.mathematik.uni-wuerzburg.de~kanzow/analysis2/Kapitel9.pdf |
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Aber die müssen dann auch noch stetig sein. |
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Sind sie doch. Sinus ist stetig. |
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Ich habe noch einen bewiesenen Satz aus der Vl gefunden: Sei → stetig differenzierbar und die Reihe punktweise konvergent auf I Ist die Reihe gleichmäßig auf I konvergent, so ist → stetig differenzierbar und es gilt: . Also ich muss nachweisen: ist stetig diffbar. 1. Stetig ja 2. Diffbar: Also ja Und Ableitung stetig:Ja als Komposition stetiger Funktionen wie bei 1. Wir wissen schon die reihe ist glm. Konvergent, also auch punktweise. Jetzt fehlt noch die Reihe über gleichm konvergent: Also Da kann ich doch wieder die gleiche Abschätzung wie vorher verwenden also würde ich erhalten Dann wäre auch Oder? |
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Ja, so ist es |
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Vielen Dank DrBoggie:-) Schönen Abend noch:-) |
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Ich habe noch eine kleine Frage: www.wias-berlin.de/people/john/LEHRE/ANALYSIS_2_LEHR/ana2_lehr_6_7.pdf In dem Link bei Satz beim Beweis für die Hinrichtung wird das Supremum von gebildet und dann ausgeführt. Warum muss man das Supremum überhaupt bilden sondern gleich berechnen? |
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Ohne Supremum hast Du nur punktweise Konvergenz, aber keine gleichmäßige. |
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Warum? Kannst du das genauer erklären? |
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Zuerst einmal, die Aussage ohne Sup hängt von ab, gilt nur für einen konkreten Punkt . Schon deshalb kann es keine Aussage über gleichmäßige Konvergenz sein, denn gleichmäßige wird nicht in einem Punkt definiert, sondern in einem Bereich. Und andererseits, reicht es einfach die Definitionen der punktweise und gleichmäßiger Konvergenz zu vergleichen. Bei gleichmäßiger Konvergenz steht "für alle Punkten von...". Ohne Sup hast Du nur einen Punkt und nicht alle Punkte. |
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Danke dir:-) Jetzt habe ich es wirklich verstanden. Schönen Sonntag noch:-) |
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