GW-Bestimmung einer Reihe

So, ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme. Sie lautet:

Beweisen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert und berechnen Sie ihren GW.

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}({(-1)}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}/2^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}$

Gut, nun habe ich zuerst mit Leibniz-Kriterium und der geometrischen Reihe die Konvergenz bewiesen. Nun möchte ich den GW berechnen, weiß aber nicht so recht, wie...

Ich hatte mir überlegt, die Reihe in zwei Teile zu zerlegen. Einmal für alle ungeraden k und dann für alle geraden. Dann hat man ja jeweils eine monoton steigende und eine monoton fallende Reihe, die ja beide gegen den gleichen GW konvergieren müssten. Aber ich weiß auch nicht, wie ich den GW dieser beiden Reihen berechnen soll.

Ist dieser Ansatz überhaupt sinnvoll und wie mache ich die Berechnung???

Würd mich über Hilfe sehr freuen