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Ganzrationale Funktion dritten Grades

Schüler Gymnasium,

Tags: lösbar, Tiefpunkt, unlösbar, Wendepunkt

sue1995 aktiv_icon

21:01 Uhr, 14.06.2012

Hallo :-)

Ich war jetzt auf Grund eines gebrochenen Oberschenkels lange Zeit nicht in der Schule und hole im Moment alles nach. Jetzt bin ich bei einer Aufgabe, wo ich nicht so recht weiß wie ich sie lösen soll. Deswegen bin ich auf eure Hilfe angewiesen. :-)

Hier die Aufgabe:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades soll im Punkt

T (1 | 2)

einen Tiefpunkt haben und im Punkt

W (0 | 0)

einen Wendepunkt. Max hält diese Aufgabe für unlösbar. Untersuche, ob Max Recht hat.

Danke schonmal für eure Hilfe.
Liebe Grüße. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Underfaker aktiv_icon

21:06 Uhr, 14.06.2012

Nunja ein bisschen was an Unterlagen wirst du dir sicher besorgt haben?!

Dann kannst du sicher ein bisschen was nach gucken:

Eine solche Funktion soll irgendwie so aussehen:

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Das heißt vor allem, 4 Variablen die es rauszufinden gilt.

Allgemein benötigt man 4 Informationen um 4 Variablen bestimmen zu können.

Was sagt dir denn im Bezug auf die Funktion und ihre Ableitung dass es einen Punkt

T

gibt

(1 | 2)

und diese zusätzlich ein Tiefpunkt ist.

Was sagt dir, dass es einen zweiten Punkt

W

gibt

(0 | 0)

und diese ist ein Wendepunkt, für solche speziellen Punkte gilt ja etwas sonst wären sie keine solchen Punkte, was gilt?

Eva88 aktiv_icon

21:09 Uhr, 14.06.2012

y=ax^3+bx^2+cx+d

y'=3ax^2+2bx+c

y''=6ax+2b

I

2 = a + b + c + d

0 = d

III

0 = 3 a + 2 b + c

0 = 2 b

Underfaker aktiv_icon

21:11 Uhr, 14.06.2012

Danke :-)

(. .

. )

Noch ein Tipp, ein Polynom dritten Grades ist immer Punktsymmetrisch zum Wendepunkt (den es immer gibt) in diesem Fall ist der Wendepunkt

(0 | 0)

also ist

f

Punktsymmetrisch zum Ursprung, das heißt:

f (x) = - f (- x) \Rightarrow

es gibt nur ungerade Exponenten zur Basis

x

.

Daraus folgt sofort

f (x) = a x^{3} +

sue1995 aktiv_icon

21:18 Uhr, 14.06.2012

Ja, wie man das in etwa macht weiß ich, aber wenn es dann darum geht ein LGS aufzustellen um zB. a rauszufinden, habe ich Probleme. Ebenso weiß ich nicht, wie ich beweisen soll, dass er Recht bzw. Unrecht hat.

Für den Tiefpunkt gilt ja:

f' (x) = 0;

Extrempunkt dann in

f (x)

einsetzen.
Für den Wendepunkt gilt

: f'' (x) = 0;

Wendepunkt in

f (x)

einsetzen.

Das müsste ja dann so sein:

ax^3+bx²+cx+d

f' (x)

=3ax²+2bx+c
also:

f' (2)

=3a*1²+2b*1+c=2

\Rightarrow

daraus lässt sich doch dann schließen, dass

c = 2

ist, oder?

f (2)

=a*1^3+b*1²+c*1+d=2

f''

(x)=6ax+2bx

f'' (0) = 6 a \cdot 0 + 2 b \cdot 0 = 0

So, ich weiß ja nicht mal ob das richtig ist. Und ab da komme ich auch nicht mehr weiter.

\frac{:}{}

sue1995 aktiv_icon

21:20 Uhr, 14.06.2012

Super, das heißt ja dass ich total falsch liege.

: (

Underfaker aktiv_icon

21:22 Uhr, 14.06.2012

Also zunächst ist

f' (2)

nicht korrekt, der Tiefpunkt und ergo der Extremwert liegt bei

x = 1

folglich gilt:

f (1) = 2

und

f' (1) = 0

Deine Ableitung stimmt, eingesetzt erhälst du: für

f' (1) = 0 \Rightarrow a + b + c = 2

daraus lässt sich noch nicht viel folgern, du benötigst auch den Rest, stelle auf für

f (1) = 2

und wenn du es nochmal selbst machen willst auch ncohmal für den Wendepunkt.

Underfaker aktiv_icon

21:24 Uhr, 14.06.2012

Deine zweite Ableitung ist aber leider nicht korrekt, es müsste

2 b

nicht

2 b x

lauten und dann erhällst du auch sofort

b = 0

.

Mach dir keinen Kopf dass es nciht sofort läuft, wenn es liefe wärst du ja nicht hier. ;-)

ps: probiere zu erst noch den y-Wert des Wendepunkts

\Rightarrow f (0) = 0

dann wirst du noch auf

d = 0

kommen, dann hast du gleich nur noch zwei Variablen und alles ist übersichtlicher :-)

sue1995 aktiv_icon

21:26 Uhr, 14.06.2012

Stimmt, ich weiß nicht wie ich darauf gekommen bin den Y-Wert da einzusetzen.

Aber irgendwie bin ich jetzt komplett durcheinander.

sue1995 aktiv_icon

21:28 Uhr, 14.06.2012

Also wenn ich jetzt die Ableitungen mache, dann sind das die von: ax³+cx, richtig?

Underfaker aktiv_icon

21:31 Uhr, 14.06.2012

Ich fasse mal zusammen:

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

f'' (x) = 6 a x + 2 b

T (1 | 2) \Rightarrow f (1) = 2 \Leftrightarrow a + b + c = 2

\Rightarrow f' (1) = 0 \Leftrightarrow 3 a + 2 b = 0

W (0 | 0) \Rightarrow f (0) = 0 \Leftrightarrow a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0

\Rightarrow f'' (0) = 0 \Leftrightarrow 6 a \cdot 0 + 2 b = 0

Diese 4 Gleichungen hast du nun, wenn du mal mit den letzten beiden anfängst sollte sich das Durcheinander schnell lichten.

Underfaker aktiv_icon

21:32 Uhr, 14.06.2012

Zu deinem Nachpost:

Wenn du meinen Hinweis annehmen willst mit der Punktsymmetrie, dann verwende:

f (x) = a x^{3} +

cx und Tiefpunkt

(1 | 2)

die beiden anderen Variablen fallen weg und den Wendepunkt kannst du nicht weiter gebrauchen.

Bilde hiervon die ABleitung und setze entsprechend ein.

sue1995 aktiv_icon

21:40 Uhr, 14.06.2012

Aus einer Rechung lässt sich ja erschließen, dass

d = 0

ist.

Mit den Gleichungen die ich jetzt habe, kann ich doch ein LGS aufstellen oder?

Underfaker aktiv_icon

21:42 Uhr, 14.06.2012

Jap

d = 0

passt aber verwende jetzt erstmal:

f'' (0) = 0 \Leftrightarrow 6 a \cdot 0 + 2 b = 0

was gilt dann hier unmittelbar für

b

?

Und dann bist du eben nur noch da was ich als letzten Post hiervor geschrieben habe.

sue1995 aktiv_icon

21:44 Uhr, 14.06.2012

dann ist

b

auch 0?!

Underfaker aktiv_icon

21:47 Uhr, 14.06.2012

Jap, das ist richtig.

sue1995 aktiv_icon

21:58 Uhr, 14.06.2012

Das wäre ja dann: f'(x)=6ax

f' (1) = 6 a \cdot 1 = 2

\Leftrightarrow 6 a = 2 \frac{|}{6}

\Leftrightarrow a = - 3

f' (0) =

-3*0³+c*0=0

| + 3

\Leftrightarrow c = 3

f (x) =

-3x³+3x
Das kann aber nicht stimmen weil das rauskommen muss: -x³+3x

sue1995 aktiv_icon

21:59 Uhr, 14.06.2012

Ich meinte: |geteilt durch 6

Underfaker aktiv_icon

22:01 Uhr, 14.06.2012

Ja das stimmt auch nciht.

TP

(1 | 2) \Rightarrow f (1) = 2 \Leftrightarrow a + c = 2

keine Ahnung wo du da

6 a = 2

hergenommen hast.

und außerdem folgt aus Tiefpunkt:

f' (1) = 0

und nicht

f' (0) = 0

bei dir käme nämlich

c = 0

raus, also

f' (1) = 0 \Leftrightarrow 3 a + c = 0

Insgesamt hast du nun:

a + c = 2

3 a + c = 0

Und das musst du nur noch auflösen.

sue1995 aktiv_icon

22:16 Uhr, 14.06.2012

Ich hab das gerade versucht aufzulösen, aber da kommt immernoch nicht das Richtige raus.

Ich hab die erste gleichung mit

(- 3)

multipliziert und dann die beiden Gleichungen addiert. Und dann die eine Variable, und danach die andere ausgerechnet.

Underfaker aktiv_icon

22:22 Uhr, 14.06.2012

Da du offline bist und ich dann nicht länger warten möchte schreibe ich dir den rest zur Kontrolle hier hin:

f (1) = 2 \Leftrightarrow a + c = 2 \Leftrightarrow a = 2 - c

f' (1) = 0 \Leftrightarrow 3 a + c = 0 (a = 2 - c

einsetzen

) \Rightarrow 6 - 3 c + c = 0 \Leftrightarrow 6 = 2 c \Leftrightarrow c = 3

In die erste Gleichung

c = 3

einsetzen

\Rightarrow a = 2 - 3 \Leftrightarrow a = - 1

Insgesamt also:

f (x) = - x^{3} + 3 x

Jetzt gibt es allerdings noch etwas zu überprüfen, wir haben eine Funktion

f

auf der Grundlage eines Wendepunktesbei

(0 | 0)

und eines Extremwertes bei

(1 | 2)

hergeleitet.

Aber ist dieser Extremwert überhaupt wie angegeben ein Tiefpunkt? Das floss ja nicht in unsere Berechnung ein, für uns relevant war nur der Extremwert (also Hoch oder Tiefpunkt) und somit

f' (x) = 0

.

Prüfen wir also einmal:

f'' (x) = - 6 x

f'' (1) = - 6 \Rightarrow

Hochpunkt bei

(1 | 2)

liegt also ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt vor, da wir aber eine Funktionsvorschrift mit ellgemeinem Extremwert ermittelt haben, ist gezeigt, dass es nicht möglich ist mit diesen angaben eine korrekte Funktionsvorschrift anzugeben, das geht nur für einen Hochpunkt nicht jedoch einen Tiefpunkt.

Underfaker aktiv_icon

22:23 Uhr, 14.06.2012

Hm jetzt bist du wieder online aber naja, dann kannst du es ja jetzt nachvollziehen. :-)

Viel Erfolg weiterhin.

sue1995 aktiv_icon

22:36 Uhr, 14.06.2012

Jetzt weiß ich wo mein Fehler lag, ich hab meine Gleichung falsch aufgelöst.
Vielen vielen Dank für die Hilfe, das hat mich echt weitergebracht! :-)

Underfaker aktiv_icon

06:22 Uhr, 15.06.2012

Gern geschehen.

Viel Erfolg weiterhin.

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