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Gauß'sche Klammer

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Tags: Beweis, Gauß'sche Klammer, Gauss, Reelle Zahlen, Zahl

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19:06 Uhr, 03.05.2012

Hallo wiedermal!

Also man soll zeigen:

a)

für alle

x, y \in ℝ : [x + y] \geq [x] + [y]

b)

für alle

x \in ℝ,

für alle

m \in ℤ : [x + m] = [x] + m

c)

für alle

x \in ℝ,

für alle

m \in ℕ : [\frac{x}{m}] = [

Gaußklammer

x

Gaußklammer

/ m]

.

Ich bräuchte bitte bitte den ganzen Beweis ..

Ich danke euch schon mal für eure Hilfe :-))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:11 Uhr, 03.05.2012

Was darf denn alles vorausgesetzt werden? Ist zum Beispiel

\exists ξ \in [0; 1) : x = [x] + ξ

schon bewiesen?
Falls ja kannst du dann mal so anfangen:

[x + y] = [[x] + ξ_{1} + [y] + ξ_{2}] = [[x] + [y] + ξ_{1} + ξ_{2}]

Den Rest kriegst du bestimmt selbst hin.

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11:21 Uhr, 04.05.2012

Also, das kann man sicher voraussetzen, ich werd' es mal probieren. ;-) Danke schonmal ..

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13:02 Uhr, 04.05.2012

Keine Ursache.

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14:37 Uhr, 06.05.2012

Darf ich fragen, ob das stimmt was ich gemacht habe?

Also bei

a)

hab ich:

Es gibt ein

ε_{1} \in [0,1) : x = [x] + ε_{1}

und es gibt ein

ε_{2} \in [0,1) : y = [y] + ε_{2}

[x + y] = [[x] + ε_{1} + [y] + ε_{2}] = [[x] + [y] + ε_{1} + ε_{2}] = [[x] + [y]] + ε_{1} + ε_{2} = [x] + [y]

bei

b)

[x + m] = [[x] + ε_{1} + m] = [[x]] + ε_{1} + m = [x] + m

bei

c)

da komm' ich mit der methode nicht wirklich weiter ..

: (

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14:43 Uhr, 06.05.2012

Das ist Käse. Es gilt ja

i . A

. gar nicht

[x + y] = [x] + [y]

sondern

[x + y] \geq [x] + [y]

Oben war ich aber eigentlich schon so gut wie fertig. Du musst dir nur noch überlegen warum

[[x] + [y] + ξ_{1} + ξ_{2}] \geq [x] + [y]

ist. Beachte dabei, dass

[x] + [y]

ganzzahlig ist sowie

ξ_{1}, ξ_{2} \in [0; 1)

Und natürlich solltest du die Definition der Gaußklammer beachten.

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14:51 Uhr, 06.05.2012

Hoppla, stimmt ja ..

ich hab' jetzt:

[[x] + ε_{1} + [y] + ε_{2}] = [[x] + [y] + ε_{1} + ε_{2}] = [x] + [y] + ε_{1} + ε_{2} \geq [x] + [y],

da ja

ε_{1}, ε_{2} \in [0,1)

liegen, gilt das .

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14:52 Uhr, 06.05.2012

Du kannst die äußere Gaußklammer doch nicht einfach unbegründet wegfallen lassen.

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14:56 Uhr, 06.05.2012

Nicht? Aber eine doppelte Gauß' Klammer bringt ja nichts, oder doch?
ich versteh's nicht .

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14:59 Uhr, 06.05.2012

Dann schau dir doch mal ein Beispiel an.

4 = [4.1] = [1.3 + 2.8] = [[1.3] + 0.3 + [2.8] + 0.8] = [[1.3] + [2.8] + 0.3 + 0.8]

\neq [1.3] + [2.8] + 0.3 + 0.8 = 1 + 2 + 0.3 + 0.8 = 4,1

Mach dir klar, dass

[[x] + [y] + ξ_{1} + ξ_{2}]

die größte ganze Zahl ist, die kleinergleich

[x] + [y] + ξ_{1} + ξ_{2}

ist (das ist einfach die Definition der Gaußklammer). Nun beachte noch

([x] + [y]) \in ℤ

und

(ξ_{1} + ξ_{2}) \in [0; 2)

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15:05 Uhr, 06.05.2012

Okay, das Beispiel ist verständlich, aber mit dem Beweis komm' ich trotzdem nicht weiter.

Wenn ich jetzt habe:

[[x] + [y] + ε_{1} + ε_{2}]

(wobei jetzt

[x] + [y] \in ℤ

und

ε_{1}, ε_{2} \in [0,1))

dann ist man doch eigentlich eh schon fertig, weil es ja

\geq

wie

[x] + [y]

ist ..

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15:06 Uhr, 06.05.2012

Ja eben, du solltest dir aber klar machen warum das gilt. Wenn es dir klar ist, dann ist ja alles gut.

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15:10 Uhr, 06.05.2012

Naja, die Gauß' Klammer bewirkt ja, dass aus

ε_{1}

und

ε_{2}

eine ganze Zahl wird (und da die beiden in

[0,1)

sind) , also wird daraus ja 0 ??

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15:15 Uhr, 06.05.2012

Vielleicht hilft dir ja eine Fallunterscheidung für das Verständnis.
Für

(ξ_{1} + ξ_{2}) \in [0; 1)

gilt tatsächlich

[[x] + [y] + ξ_{1} + ξ_{2}] = [x] + [y] \geq [x] + [y]

Für

(ξ_{1} + ξ_{2}) \in [1; 2)

gilt sogar

[[x] + [y] + ξ_{1} + ξ_{2}] = [x] + [y] + 1 \geq [x] + [y]

Insgesamt also auf jeden Fall

[x + y] = [[x] + [y] + ξ_{1} + ξ_{2}] \geq [x] + [y]

was zu zeigen war.

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15:17 Uhr, 06.05.2012

Okay, ist verständlich.

bei

b)

ist ja

[x + m] = [x] + m,

da aber

m \in ℤ

ist, kann man es herausziehen und es bleibt gleich oder?

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15:19 Uhr, 06.05.2012

Du kannst wieder die Idee von oben benutzen.

[x + m] = [[x] + ξ + m] = [[x] + m + ξ]

Und jetzt eben wieder

([x] + m) \in ℤ

und

ξ \in [0; 1)

beachten.

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15:26 Uhr, 06.05.2012

Naja, aber im Endeffekt muss ich ja

m

irgendwie herausziehen können, da ja

m

eh in

ℤ

liegt, oder nicht?

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15:54 Uhr, 06.05.2012

Ja das willst du doch gerade beweisen. Du kannst ja nicht die Behauptung in dem Beweis benutzen...
Also erstmal wie oben:

[x + m] = [[x] + m + ξ]

wobei

0 \leq ξ < 1

Du weißt nun, dass

\underset{\in ℤ}{\underset{⎵}{[x] + m}} \leq [x] + m + ξ < \underset{\in ℤ}{\underset{⎵}{[x] + m + 1}}

Warum folgt daraus

[[x] + m + ξ] = [x] + m

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16:08 Uhr, 06.05.2012

ich hab' ehrlich gesagt jetzt keine wirkliche ahnung, warum das so ist.

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16:13 Uhr, 06.05.2012

Schade, denn eigentlich ist die Aussage trivial. Man muss sich nur die Definition der Gaußklammer angucken.

[[x] + m + ξ]

ist die größte ganze Zahl, die kleinergleich

[x] + m + ξ

ist. Nun wissen wir, dass für die ganze Zahl

[x] + m

gilt

[x] + m \leq [x] + m + ξ

(weil

0 \leq ξ < 1)

und außerdem wissen wir, dass für die darauffolgende ganze Zahl

[x] + m + 1

gilt

[x] + m + 1 > [x] + m + ξ

(weil

0 \leq ξ < 1)

Damit muss

[x] + m

die größte ganze Zahl sein, die kleinergleich

[x] + m + ξ

ist. Denn ihr Nachfolger

[x] + m + 1

ist bereits größer als

[x] + m + ξ

. Ich hoffe dir ist der Grundgedanke nun klarer.

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16:23 Uhr, 06.05.2012

Und das beweist

[x + m] = [x] + m

? . ich mein, ich versteh' ja den Grundgedanken jetzt zumindest schon.

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16:27 Uhr, 06.05.2012

Ja klar, darum geht es doch die ganze Zeit. Kurz aufgeschrieben:

[x + m] = [[x] + m + ξ] = [x] + m

ξ \in [0; 1)

Nähere Begründung habe ich dir ja schon oben gegeben (du musst halt die Definition der Gaußklammer verinnerlichen)

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16:31 Uhr, 06.05.2012

Okay, ist klar. und bei

c)

kann ich auch wieder mit dem

ε

arbeiten?

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16:49 Uhr, 06.05.2012

Ich kann die

c)

nicht lesen.

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17:05 Uhr, 06.05.2012

da steht

[\frac{x}{m}] =

dann das gleiche nur statt

x = [x]

für

x \in ℝ, m \in ℕ

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