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Gegenbeispiel lokale gleichmäßige Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Funktionentheorie

Grenzwerte

Komplexe Analysis

Tags: Funktionenfolgen, Funktionentheorie, Grenzwert, Komplexe Analysis

Weidendorf aktiv_icon

09:51 Uhr, 29.07.2020

Ich lerne zurzeit für eine Funktionentheorie Klausur und wollte, um den Begriff der lokal gleichmäßigen Konvergenz besser zu verstehen, ein Gegenbeispiel finden:

Gesucht ist eine Funktionenfolge von holomorphen Funktionen

f_{k} \in H (U)

auf einem Bereich

U \subseteq ℂ

(

U

Bereich

\Leftrightarrow

nichtleer und offen) welche punktweise gegen eine Funktion

f : U \to ℂ

konvergiert, nicht aber lokal gleichmäßig ( de.wikipedia.org/wiki/Kompakte_Konvergenz).
Bzw. nach dem Weierstraß'schen Konvergenzsatz äquivalent, dass

f \notin H (U)

.

Ich scheitere leider immer an einer der beiden Vorraussetzungen, denn ich finde Beispiele für nicht holomorphe

f_{k}

und ich finde Beispiele auf abgeschlossenen Mengen

U

, nicht aber auf Bereichen. Auch online finde ich kein entsprechendes Gegenbeispiel.

Kennt hier jemand ein Beispiel? Nur die Funktion würde ausreichen, die Eigenschaften würde ich selber prüfen.

edit: Bereich anstatt Gebiet

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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DrBoogie aktiv_icon

10:46 Uhr, 29.07.2020

Es scheint kein einfaches Gegenbeispiel zu geben.
Hier nämlich steht: from a modern viewpoint, it is easy to see from Montel's theory of normal families why an example of a non-analytic pointwise limit of analytic functions requires a little work.
Hier ein Artikel darüber:
www3.math.tu-berlin.de/geometrie/Lehre/SS18/ComplexAnalysis/3647878.pdf

Weidendorf aktiv_icon

11:22 Uhr, 29.07.2020

Vielen Dank für den Artikel!

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