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Gleichmäßige Konverenz mit Faltung

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Tags: Differentiation, Funktion, Funktionenfolgen, Grenzwert, Integration, Sonstig, Stetigkeit

 
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Isaaabellll

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10:08 Uhr, 08.05.2018

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Hallo liebe Mathematiker,
bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter.

Sei F:Rm→R stetig mit kompakten Träger. Für ε>0 setzen wir

Qε:=[0,ε]m,Fε:Rm→R mit Fε:=ε-m⋅F⋆χQε

Dabei bezeichnet ⋆ die Faltung von χ und F und χQε die charakteristische Funktion.

Zeige, dass Fε für alle ε→0 lokal gleichmäßig gegen F konvergiert.

Könnt ihr mir bitte helfen?
Ich bin für jeden Vorschlag, Tipp, etc. enorm dankbar.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Isaaabellll

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13:47 Uhr, 09.05.2018

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kann niemand helfen?
Antwort
Apfelkonsument

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10:59 Uhr, 10.05.2018

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Hallo,

setzen wir gε:=χQε, um nicht so viel schreiben zu müssen.

Es gilt ∫F(x)gε(y)dy=F(x), also

∣Fε(x)-F(x)∣=∣∫F(x-y)gε(y)dy-∫F(x)g(y)dy∣ ≤∫∣F(x-y)-F(x)∣gε(y)dy=1εm∫Qε∣F(x-y)-F(x)∣dy.

Jetzt benutzt du, dass F gleichmäßig stetig ist.

Übrigens kannst du damit sogar gleichmäßige Konvergenz zeigen, nicht nur lokal gleichmäßige.
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

15:20 Uhr, 12.05.2018

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Vielen Dank!

Wie meinst du das, ich soll die gleichmäßige Stetigkeit benutzen, um nun die gleichmäige Konvergenz zu zeigen?
Antwort
pwmeyer

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18:40 Uhr, 12.05.2018

Antworten
Hallo,

es geht weiter, indem Du die Differenz F(x-y)-F(x) abschätzt. Weil y∈Qε liegt, lässt sich diese Differenz wegen der Stetigkeit von F abschätzen, und zwar unabhängig von x wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von F.

Gruß pwm
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

19:40 Uhr, 12.05.2018

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Ok vielen Dank,
Diese Abschätzung würde ich mit der charakteristischen Funktion versuchen, sodass für alle F(x)-F(y)<δ gilt?
Isaaabellll

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21:49 Uhr, 12.05.2018

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aber auch diese Abschätzung würde nicht hinkommen, da ε nach Voraussetzung gegen null strebt, dh. der Bruch 1εm geht gegen ∞, was der gleichmäßigen Konvergenz widerspricht. Oder denke ich gerade falsch
Antwort
Apfelkonsument

Apfelkonsument aktiv_icon

22:38 Uhr, 12.05.2018

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Ja, da denkst du falsch.

Es ist 1εm∫Qεdy=1εm*Vol(Qε)=1 für alle ε>0.
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

12:18 Uhr, 13.05.2018

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Ja, vielen Dank, diese Abschätzung kann ich nachvollziehen,
aber 1 ist auch nicht kleiner als ε bzgl. der gleichmäßigen Konvergenz.
Oder ist hierdurch die Konvergenz schon gezeigt?
Antwort
Apfelkonsument

Apfelkonsument aktiv_icon

15:13 Uhr, 13.05.2018

Antworten
Du willst den Integrand ja auch nicht gegen 1 abschätzen, sondern gegen δ. Hast du das inzwischen gemacht/begründet, warum das für ε klein genug geht?
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

15:32 Uhr, 13.05.2018

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Ja ich habe alles soweit hinbekommen.
ICh stande wohl enorm auf dem Schlauch.
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