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Gleichung beweisen oder wiederlegen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Gleichung., Wiederlegen

anton0815 aktiv_icon

12:30 Uhr, 02.09.2019

Wie kann man folgende Gleichung beweisen oder wiederlegen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michaL aktiv_icon

12:40 Uhr, 02.09.2019

Hallo,

unter der Voraussetzung, dass

a, b, n > 0

gilt, ist die Aussage wahr.
Dazu braucht man Logarithmengesetze (also Potenzgesetze, nur anders geschrieben).

Besonders hilfreich ist meiner Meinung nach:

\log_{b} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (b)}

Mfg Michael

HAL9000 aktiv_icon

13:19 Uhr, 02.09.2019

An sich reicht das sich aus der Definition des Logarithmus ergebende

a = b^{\log_{b} (a)}

und

n = b^{\log_{b} (n)}

in Verbindung mit Potenzregel

{(b^{u})}^{v} = b^{u \cdot v} = {(b^{v})}^{u}

anton0815 aktiv_icon

14:28 Uhr, 02.09.2019

Vielen Dank ich bin nun auf diese Lösung gekommen liege ich damit richtig?

michaL aktiv_icon

16:17 Uhr, 02.09.2019

Hallo,

@HAL9000: Na ja, sicher wird das reichen (viel mehr wird man wohl auch nicht für so einen Logarithmus voraussetzen können). Fragt sich nur, wie schwierig man es sich macht bzw. wovon man ausgehen darf.

@Anton0815: So ähnlich hätte ich es auch gemacht. Allerdings hättest du die logarithmierte Gleichung

\log_{b} (n) = \log_{b} (a) \cdot \log_{a} (n)

(abgesehen von einem Sonderfall) umformen können zu

\frac{\log_{b} (n)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (n)

, welche Gleichung auch bekannt sein dürfte.

Mfg Michael

HAL9000 aktiv_icon

16:21 Uhr, 02.09.2019

> Fragt sich nur, wie schwierig man es sich macht bzw. wovon man ausgehen darf.

Allerdings. Und da benutzt mein Weg lediglich die Logarithmusdefinition und die erwähnte Potenzregel, d.h., nicht schon abgeleitete Eigenschaften wie

\log_{b} (a) = \frac{\ln (a)}{\ln (b)}

. Ich halte es für überflüssig, hier einen weiteren Logarithmus (den zur Basis

e

) zu verwenden, wenn man mit

\log_{b}

allein völlig transparent argumentieren kann. ;-)

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