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Gliedweises Differenzieren

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionenreihen

Grenzwerte

Tags: Differentiation, Funktionenreihen, Grenzwert

LuciaSera aktiv_icon

11:15 Uhr, 10.10.2018

Ich habe folgende Aufgaben:

a)

Ist

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)

mit

f_{n} (x) =

sin(nx)/2^n punktweise/gleichmäßig konvergent.

Das war nicht allzu schwierig. Für die Lösung habe ich das Weierstrass-Kriterium angewandt. Die obere Schranke

\frac{1}{2^{n}}

gefunden und von dieser wissen wir, dass sie konvergiert, bzw. habe ich mir die geometrische Reihe zu Hilfe genommen und komme auf den Grenzwert

- 1

.
Dadurch weiß ich, dass die Reihe

\frac{1}{2^{n}}

konvergiert und meine Funktionenreihe somit gleichmäßig konvergiert und damit natürlich auch punktweise.

b)

Kann man

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) (f_{n} (x)

gleich wie bei

a))

gliedweise differenzieren?

Wir haben zum gliedweisen Differenzieren nichts in der VO aufgeschrieben. Ich habe gelesen, dass man diese Differenzierbarkeit über die Potenzreihen prüfen kann. Aber ich weiß einfach nicht genau wie ich das interpretieren bzw. zeigen/widerlegen soll.

Freue mich über jeden eurer Hinweise!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ermanus aktiv_icon

17:07 Uhr, 10.10.2018

Hallo,
zu deiner Frage gibt es einen allgemeinen Satz:

Es sei

\sum_{k = 0}^{\infty} f_{k}

eine Reihe auf

[a, b]

differenzierbarer Funktionen.
Existiert der Grenzwert

s (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} f_{k} (x)

für wenigstens ein

x \in [a, b]

, und ist die Ableitungsreihe

\sum_{k = 0}^{\infty} f_{k} ʹ

gleichmäßig konvergent in

[a, b]

,
so ist auch die Funktionenreihe

\sum_{k = 0}^{\infty} f_{k}

gleichmäßig konvergent in

[a, b]

, die Summe

s (x)

ist
differenzierbar und es gilt

s ʹ (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} f_{k} ʹ (x)

(gliedweise differenzieren).

Gruß ermanus

LuciaSera aktiv_icon

08:46 Uhr, 11.10.2018

Ah okay. Das heißt also, dass ich die Voraussetzungen dieses Satzes prüfen muss oder?

Da ich in Aufgabe

a)

ja schon gezeigt habe, dass meine Funktionenreihe gleichmäßig konvergiert, folgt daraus auch schon die Differenzierbarkeit und sie konvergiert auch auf jeden Fall für mindestens einen Punkt

x_{0}

aus meiner Menge

[a, b]

.

Und dann gilt doch auch schon, dass

(\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x))' = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}' (x)

Das scheint mir aber fast ein bisschen zu einfach zu sein oder nicht?

ermanus aktiv_icon

08:55 Uhr, 11.10.2018

Du musst noch zeigen, dass die Reihe der Ableitungen

\sum f_{n} ʹ

gleichmäßig konvergiert.

LuciaSera aktiv_icon

09:18 Uhr, 11.10.2018

Okay also:

f_{n}' (x) = n \cdot \frac{cos (n \cdot x)}{2^{n}}

\Rightarrow | n \cdot \frac{cos (n \cdot x)}{2^{n}} | \leq | \frac{n}{2^{n}} | = n \cdot | \frac{1}{2^{n}} | \to \infty

für

n \to \infty

Kann ich daraus nun schlussfolgern, dass die Ableitung nicht gleichmäßig konvergiert? Oder kann ich aus diesem Schritt noch keine Aussage treffen?

ermanus aktiv_icon

09:23 Uhr, 11.10.2018

Deine Folge

n \cdot ∣ \frac{1}{2^{n}} ∣

ist doch eine Nullfolge!
Verwende das Quotientenkriterium für deine "Weierstrass-Majorante".

LuciaSera aktiv_icon

09:25 Uhr, 11.10.2018

Aber ich dachte ich muss immer die

\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n}

(Sprich die Reihe) betrachten. Diese würde gegen 1 gehen für

n \to \infty

.

Das Weierstraß-Kriterium besagt dass

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

glm konvergiert, wenn

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

konvergiert.

In meinem Fall ist mein

a_{n} = n \cdot \frac{1}{2^{n}}

und die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot \frac{1}{2^{n}}

divergiert dann.

ermanus aktiv_icon

09:28 Uhr, 11.10.2018

Deine Vergleichsreihe heißt in unserem Falle

\sum \frac{n}{2^{n}}

. Deren Konvergenz wollen wir ergründen ;-)

ermanus aktiv_icon

09:34 Uhr, 11.10.2018

Die Reihe divergiert doch gar nicht :(

LuciaSera aktiv_icon

10:03 Uhr, 11.10.2018

Sah für mich auf den ersten Blick so aus.. Habe aber nun ein paar Folgenlieder aufgeschrieben und gesehen, dass sie wirklich konvergiert.

Ich habe das jetzt mit dem Quotientenkriterium gezeigt:

lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{n + 1}{2^{n + 1}}}{\frac{n}{2^{n}}} | = lim_{n \to \infty} | \frac{2^{n} \cdot n + 2^{n}}{2^{n} \cdot n} | = lim_{n \to \infty} | \frac{n + 1}{2 n} | = lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot (1 + \frac{1}{n})}{2 n} = lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2} < 1

Daraus folgt dass meine Reihe absolut kovergiert und die Ableitung meiner Funktionenfolgen gleichmäßig konvergiert und ich gliedweise differenzieren kann.

Stimmt das?

ermanus aktiv_icon

10:04 Uhr, 11.10.2018

Ja, so ist es OK :-)

LuciaSera aktiv_icon

11:53 Uhr, 12.10.2018

Perfekt Danke :-D)

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