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Grenzewerte und das Verhalten gegen Unendlich

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, reih, unendlich

xPeet aktiv_icon

12:42 Uhr, 03.07.2013

Hallo Liebe User,

Ich habe fragen bezüglich zweier Gleichungen die gegen unendlich gehen.

lim = \frac{2 k^{2} - 5 k + 7}{7 k^{2} + 3 k - 1}

k→oo

Hier würde als Lösung

\frac{2}{7}

raus kommen. Allerdings habe ich leider keine Ahnung wie ich darauf kommen soll.. Mein Ansatz wäre eig..

\frac{2 \cdot \infty^{2} - 5 \cdot \infty + 7}{7 \cdot \infty^{2} + 3 \cdot \infty - 1} = \frac{\infty - \infty + 7}{\infty + \infty - 1} = \infty

die andere wäre dann:

lim = \frac{10 k^{2} - 5}{5 \cdot k^{3} + 2 k}

dies ergibt laut google 0.
k→oo

Mein Ansatz wäre jedoch:

\frac{10 \cdot \infty^{2} - 5}{5 \cdot \infty^{3} + 2 \cdot \infty} = \frac{\infty - 5}{\infty + \infty} = \frac{\infty}{\infty} = 1

Kann mir vllt. jemand erklären was genau wie falsch mache und wie man eig. an solche Aufgaben heran geht?
Freue mich über jede Antwort!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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pwmeyer aktiv_icon

12:50 Uhr, 03.07.2013

Hallo,

Du benutzt selbgestaltete Rechenregeln für das Symbol

\infty,

die durch nichts gerechtfertigt oder begründet oder gar bewiesen werden. Da Du an der Uni bist, wäre es gut, wenn Du Dir klar machst, dass das Unsinn ist.

Das Mittel des Wahl ist bei Deinen Beispiel Zähler und Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von

k

zu dividieren und dann die Information

\frac{a}{k^{n}} \to 0

für

k \to \infty (n \in N)

und die elementarten Grenzwertsätze zu verwenden.

Gruß pwm

rundblick aktiv_icon

12:53 Uhr, 03.07.2013

\infty

ist ein Symbol für dein Unvermögen, eine grösste Zahl anzugeben

also:

\infty

ist keine Zahl
und deshalb kannst du auch nicht so komische Sachen wie

\frac{\infty}{\infty}

rechnen.

Tipp zu deinem Problemchen:

kürze zuerst den Bruch mit

k^{2}

xPeet aktiv_icon

13:03 Uhr, 03.07.2013

Alles klar. Hat geklappt. :-)

Dass mein "Ansatz" völlig aus den Fingern gezogen war, hab' ich mir schon gedacht..

Danke ihr beiden!

Atlantik aktiv_icon

13:05 Uhr, 03.07.2013

lim_{k \to 00} \frac{2 k^{2} - 5 k + 7}{7 k^{2} + 3 k - 1}

Und nun mit l´hopital weiter.

mfG

Atlantik

alexg aktiv_icon

17:30 Uhr, 03.07.2013

Man braucht gottseidank kein de l'hopital ;-)

lim_{k \to \infty} (\frac{2 k^{2} - 5 k + 7}{7 k^{2} + 3 k - 1})

lim_{k \to \infty} (\frac{\frac{2 k^{2}}{k^{2}} - 5 \frac{k}{k^{2}} + \frac{7}{k^{2}}}{\frac{7 k^{2}}{k^{2}} + 3 \frac{k}{k^{2}} - \frac{1}{k^{2}}})

Dann kürzen. Oben bleibt

2 - \frac{5}{k} + \frac{7}{k^{2}}

. Unten

7 + \frac{3}{k} - \frac{1}{k^{2}}

Wenn

k

nach Unendlich geht, gehen alle Brüche durch

k

nach Null. Es bleibt also über

\frac{2}{7}

. Das íst der Limes. :-)

Atlantik aktiv_icon

17:37 Uhr, 03.07.2013

Lösungsweg mit l´hopital:

lim_{k \to 00} \frac{2 k^{2} - 5 k + 7}{7 k^{2} + 3 k - 1} \to lim_{k \to 00} \frac{4 k - 5}{14 k + 3} \to \frac{4}{14} = \frac{2}{7}

Ich finde, dass der Weg schneller geht.

mfG

Atlantik

alexg aktiv_icon

17:59 Uhr, 03.07.2013

Ok, ja stimmt, ist vielleicht sogar schneller. :-)

Aber wenn xPeet vorher noch nicht mit Limes gerechnet hat und de l'Hopital nicht kennt ist der klassische Weg vielleicht einleuchtender.

Wie dem auch sei - bei diesem Beispiel geht's mit beiden Lösungswegen gut!

rundblick aktiv_icon

20:08 Uhr, 03.07.2013

@ Atlantik:
ob du je auf die Idee kommen wirst, dir Gedanken über das

k

zu machen?

was ist, wenn

k \in N

und der Term also eine Folge

a_{k}

beschreibt ?

\to

sieht vielleicht doch ganz so aus?

so -
dann kannst du die Idee mit de l'Hospital vergessen

\to

überlege warum...

Bummerang

09:00 Uhr, 04.07.2013

Hallo rundblick,

ich bin sehr für Kritik an Lösungen anderer und Atlantik weiss, dass ich gerade in letzter Zeit auch ihn sehr oft kritisiert habe. Aber man sollte dabei nicht aus den Augen verlieren, dass diejenigen, die viel Kritik verdienen, auch mal was richtig gemacht haben können. Den einzigen Vorwurf, den man Atlantik hier machen kann ist, dass er nicht begründet hat, wieso man das genau so machen darf! Die Werte der gegebenen Zahlenfolge, die wie Du vollkommen korrekt angemerkt hast, diskrete Werte sind, liegen alle auf einem Funktionsgraphen der Funktion

f (x) = \frac{2 \cdot x^{2} - 5 \cdot x + 7}{7 \cdot x^{2} + 3 \cdot x - 1}

. Wenn die Zahlenfolge für

k \to + \infty

konvergiert, dann kann sie nur gegen den selben Grenzwert konvergieren, gegen den die Funktion konvergiert. Als Begründung dafür gilt, dass mit der Konvergenz der Funktion auch jede Teilmenge (also auch jede diskrete Punktmenge) des Graphen gegen den selben Grenzwert konvergiert, wenn der x-Wert in der Punktmenge gegen

+ \infty

geht. Und da die gegebene Zahlenfolge eine solche Teilmenge darstellt, konvergiert sie gegen den selben Wert. Die Rechnung von Atlantik ist also durchaus anwendbar, aber das eine oder andere Wort dazu ist nötig und wurde hier von Atlantik leider nicht angegeben.

Atlantik aktiv_icon

09:36 Uhr, 04.07.2013

Für mich war es selbsterklärend, dass man den Grenzwert mit dem Weg von alexg und mit l´hopital finden kann.
Er ist auf beiden Wegen

\frac{2}{7}

.

mfG

Atlantik

Bummerang

10:22 Uhr, 04.07.2013

Hallo Atlantik,

"Für mich war es selbsterklärend, ..." - In Klausuren ist es trotzdem ratsam, Selbstverständlichkeiten zu erwähnen, der Punktabzug lauert überall!

alexg aktiv_icon

13:07 Uhr, 04.07.2013

Ich weiß, das passt hier nicht ideal in den Thread, aber noch ganz kurz zum Thema Kritik:

Ich finde es natürlich auch wichtig, falsche Aussagen richtig zu stellen - damit niemand etwas Falsches lernt - finde aber, dass das sachlich passieren kann, oder?

Sonst traut sich bald niemand mehr im Forum einen Lösungsansatz zu posten. Außer ihr wollt, dass nur wirkliche Mathe-Profis Lösungen posten. Dann werde ich mich in Zukunft zurückhalten...

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