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Grenzfunktion einer verketteten Funktionenfolge

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Tags: Folgen und Reihen, Funktionenfolgen, Grenzwert, Stetigkeit

 
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MeinNichkname

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16:31 Uhr, 10.05.2013

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Hallo,

ich habe eine Folge stetiger Funktionen (fn)n∈ℕ, wobei fn:D→ℝ und D⊂ℝ, die gleichmäßig gegen f:D→ℝ konvergiert.

Nun ist g:E→ℝ eine gleichmäßig stetige Funktion auf der abgeschlossenen Menge E⊂ℝ. Zudem gilt fn(D)⊂E für alle n∈ℕ.

Ich möchte zeigen, dass unter diesen Bedingungen die Folge (g∘fn)n∈ℕ gleichmäßig gegen g∘f konvergiert.


Meine Ideen:
Ich sitze nun schon seit einer Weile an dieser Aufgabe. Zunächst habe ich mir mal hingeschrieben, was das alles eigentlich bedeutet. Wir haben:

(1) (fn)n∈ℕ konv. glm. gegen f ⇒ Für ε>0 existiert ein n0∈ℕ, sodass für alle n≥n0 und x∈D gilt: ∣fn(x)-f(x)∣<ε.

(2) g glm. stetig ⇒ Es ex. ein δ>0, sodass für alle x,y∈E aus ∣x-y∣<δ folgt: ∣g(x)-g(y)∣<ε

(3) ∀n∈ℕ:fn(D)⊂E

(4) E ist kompakt

Nun müsste ich zeigen, dass ∣g∘fn(x)-g∘f(x)∣<ε gilt. Hier bereitet mir zunächst Probleme, dass g ja nur für f(x)∈E definiert ist. Nun gilt aber nur für alle fn⊂E. Kann ich dies so einfach auch für f folgern?

Falls ja, müsste der Beweis doch beinahe trivial sein, da dann alle Eingaben für g aus E kommen und da g glm. stetig ist, gilt ohehin ∣g(x)-g(y)∣<ε ...

Könnte mir jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

19:04 Uhr, 10.05.2013

Antworten
Hallo,

Dein Problem mit dem Definitionsbereich löst sich dadurch, dass E abgeschlossen ist:

fn(x)→f(x) und fn(x)∈E⇒f(x)∈E

Was die gleichmäßige Konvergenz angeht: Sei ε gegeben, wähle δ nach (2) und zu δ wähle nach (1) (mit δ statt ε) ein n0....

Gruß pwm
Frage beantwortet
MeinNichkname

MeinNichkname aktiv_icon

21:12 Uhr, 10.05.2013

Antworten
Ich danke für deine Antwort. Ich konnte die Aufgabe inzwischen lösen.