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Grenzverhalten von Funktionen, einfach!!?

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Definitionslücken, Grenzverhalten, Grenzwert, senkrechte asymptote, waagerechte Asymptote

sophia-l aktiv_icon

15:11 Uhr, 14.03.2011

Hallo,
bin verzweifelt, helft mir bitte!! Es geht um schnelles und einfaches berechnen von Grenzwerten.

Ich komm bei Grenzverhalten von Funktionen einfach nicht weiter, denn wenn ich zum Beispiel etwas komplexere Funktionen habe wie

z . B . :

\frac{32 - x}{(x - 2) (4 + x) x^{2}}

und ich nun bei der Funktion das Verhalten der Funktion an die Definitionslücke untersuchen muss sowie im Unendlichen, dann sehe ich als einzige Möglichkeit diese ganze Gleichung immer und immer wieder in den Taschenrechner einzugeben mit den entsprechenden Werten (also sehr große und kleine Zahlen, bzw. Zahlen an der Defintionslücke) um das Verhalte im Unendlichen und an der Defintitionslücke zu untersuchen.

Und genau der Vorgang dauert ewig und das geht bestimmt einfacher, nur ich weiß nicht wie und finde auch nirgendwo etwas dazu. Es kann ja irgendwie nicht sein, dass man bei der Kurvendiskussion allein

10 min

an den Grenzwerten sitzt oder?

Ich geh in Mathe ins mündliche und hab

20 min

um die Aufgaben vorzubereiten, dann darf das nicht so lange dauern...
BITTE helft mir weiter.

Danke schonmal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Einfache gebrochen-rationale Funktionen - Einführung
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle

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Alx123 aktiv_icon

16:15 Uhr, 14.03.2011

Hallo,
also ich kenne auch kein allgemeines Verfahren um das zubestimmen. Bei solchen Sachen sollte man einfach systematisch vorgehen, die Funktion lautet:

f (x) = \frac{32 - x}{(x - 2) (x + 4) x^{2}}

Die zuuntersuchenden Stellen lauten also ( der Reihe nach ):

x_{1} = - 4

x_{2} = 0

x_{3} = 2

Da es ja nur darum geht, ob die Funktion in der Umgebung der Stellen positiv oder negativ ist, wäre es besser wenn man sie etwas umschreibt, es gilt ja:

f (x) = \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot \frac{32 - x}{x^{2}}

Der letzte Faktor ist ja erst für

x > 32

negativ, d.h. er ist an allen zuuntersuchenden Stellen immer positiv, wir brauchen ihn also nicht zubeachten. Wir wissen jetzt aber schon das die Funktion

f (x)

eine Nullstelle hat.

Weiter gilt:

\frac{1}{x + 4} \geq 0

für

x > - 4

\frac{1}{x - 2} \geq 0

für

x > 2

Wenn wir uns jetzt von links (

x < - 4

) näheren, sind beide Faktoren negativ, also ist die Funktion für

x < - 4

postitv und von rechts angenähert ist

\frac{1}{x + 4}

positiv, der andere Faktor aber immer noch negativ, also ist die Funktion dort negativ, u.s.w.

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