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Grenzwert / Epsilon-Kriterium/ abschätzen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

MathMP

10:16 Uhr, 22.02.2019

Hallo, mich beschäftigt das Abschätzen von Folgen wenn ich mit Epsilon Kriterium einen Grenzwert beweise.

Beispiel: Beweise mit Epsilon-Kriterium den Grenzwert 6.

an

= \frac{6 n^{2} + 2 n - 2}{n^{2} + n}

(lasse im folgenden Betragstriche weg)

\frac{6 n^{2} + 2 n - 2}{n^{2} + n} - 6 \leq E

nach gemeinsam auf den Nenner bringen etc. komme ich auf

\frac{2 n - 8}{n^{2} + 1} < E

JETZT kommt die eigentliche Frage: hier auf

n

umzuformen wäre etwas umständlich daher arbeitet man ja mit abschätzen:

\frac{2 n - 8}{n^{2} + 1} \leq \frac{2 n + 5}{n^{2} + 1} \leq \frac{2 n + 5}{n^{2}} \leq \frac{2 n + 5 n}{n^{2}} \leq \frac{7 n}{n^{2}} = \frac{7}{n}

ab hier umzuformen ist viel
einfacher und man kommt auf

n > \frac{7}{E}

Versuchsweise habe ich auch

\frac{2 n - 8}{n^{2} + 1}

mit Computerprogramm auf

n

umgeformt.

n > \frac{\sqrt{- 4 E \cdot (E + 8)} + 2}{2 E}

Was ist jetzt mein Problem: Annahme

E = 10^{- 6}

bei

n > \frac{7}{E} = 7 \cdot 10^{6}

bei ohne abschätzen kommt aber gerundet

n > 2 \cdot 10^{6}

raus??

Wie muss ich die beiden Ergebnisse jetzt einordnen, durch mein abschätzen habe ich das Ergebnis ja verändert und dennoch hab ich den Grenzwert 6 bewiesen??? Ich hab ja mit meiner Abschätzmethode jetzt bei gegebenen

E

garnicht das richtige nE herausbekommen ab dem

E = 10^{- 6}

ist.
Wie muss ich das Abschätzen also verstehen?

Danke LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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anonymous

10:28 Uhr, 22.02.2019

"nach gemeinsam auf den Nenner bringen etc. komme ich auf..."

ja, das ist ja schon falsch!
ich komme zunächst mal auf = abs((-4n-2)/(n^2+n)) = abs((4n+2)/(n^2+n))

= . .

MathMP

10:41 Uhr, 22.02.2019

Entschuldige, ein Tippfehler die Angabe lautet an=

\frac{6 n^{+} 2 n - 2}{n^{2} + 1}

dann passen die weiteren Rechnungen...

anonymous

10:47 Uhr, 22.02.2019

das stimmt ja schon wieder nicht - im Zähler muss es wohl heißen "6n^2..."

MathMP

10:55 Uhr, 22.02.2019

= \frac{6 n^{2} + 2 n - 2}{n^{2} + 1}

Upps,ja

...

anonymous

10:59 Uhr, 22.02.2019

dann vielleicht so:

MathMP

11:19 Uhr, 22.02.2019

ALso jetzt hast du anders abgeschätzt, darf man abschätzen wie man möchte solange

\leq

eingehalten wird?

also jetzt unsinnig (nur damit ichs verstehe) könnte ich auch sagen (Betonung auf könnte nicht sollte)

\frac{2 n - 8}{n^{2} + 1} \leq \frac{2 n}{n^{2}} \leq \frac{200 n}{n^{2}}

dürfte ich das rein der richtigkeit halber (das es nicht sinnvoll ist weiß ich) mir gehts nur darum ob ich beim abschätzen solang die Bedingung

\leq

eingehalten wird alles machen darf, also wäre meines jetzt oben unsinnig aber NICHT falsch??

Zu deiner Erklärung (unten am Zettel) also ist es egal das einmal zb. bei deiner Abschätzung

n > \frac{2}{E}

und bei meiner vorherigen

n > \frac{7}{E}

etwas unterschiedliches rauskommt ?? Es geht nur darum, dass wir ein NE elemt der natürlichen Zahlen finden?

anonymous

11:29 Uhr, 22.02.2019

na klar
wenn Du (bei richtiger Abschätzung) eine Grenze N(eps) gefunden hast, bedeutet doch dies bildlich gesprochen: ab dieser Stelle liegen die Folgenglieder in einem Streifen der Breite 2eps um den GW - dann ist doch klar, dass auch alle Folgenglieder ab einer Stelle, die größer ist als N(eps) in diesem Streifen liegen.
Es geht also nicht darum, die kleinst mögliche Stelle zu finden...

MathMP

11:35 Uhr, 22.02.2019

Ja aber ich hätte geglaubt es ist auch interessant ab welchen NE der Schlauch über die Folgenglieder geht....

Es kommt ja drauf an wie man´s abschätzt ab welchen NE dies dann gilt . Bei einer Abschätzung ist ja ein viel kleineres/größeres NE als bei einer anderen anderen Abschätzung.
ABer dies ist bei dem Beweis also nicht so relevant, wichtig ist also nur, dass es eine NE gibt und nicht ab welchen NE ?

anonymous

11:54 Uhr, 22.02.2019

gib mir mal noch ein paar minuten Zeit

anonymous

12:04 Uhr, 22.02.2019

schau mal...

HAL9000

12:28 Uhr, 22.02.2019

> Ich hab ja mit meiner Abschätzmethode jetzt bei gegebenen E garnicht das richtige nE herausbekommen

Es gibt kein "richtiges"

n_{ε}

zu gegebenem

ε > 0

. Es wird lediglich gefordert ein

n_{ε}

anzugeben, so dass

∣ a_{n} - 6 ∣ < ε

für alle

n \geq n_{ε}

gilt - was NICHT heißt, dass es nicht auch

n < n_{ε}

geben darf, die die Ungleichung ebenfalls erfüllen. Tatsächlich ist für die meisten

ε > 0

die Lösungsmenge

L_{ɛ}

der natürlichen Zahlen

n

, die diese Ungleichung erfüllen, nicht mal "lückenlos": Wegen

a_{4} = 6

gilt stets

4 \in L_{ɛ}

, jedoch aber

5 \notin L_{ɛ}

, sofern

ε

nur klein genug ist. Es gibt also Lücken in dieser Lösungsmenge, was einen aber gar nicht kümmern muss, da man diese Lösungsmenge eh NICHT bestimmen muss.

Nochmal mit anderen Worten: Man muss also lediglich ein

n_{ε}

finden, so dass

{n_{ε}, n_{ε} + 1, \dots}

sicher in dieser Lösungsmenge

L_{ɛ}

liegt, ohne dass man diese Lösungsmenge selbst exakt bestimmen muss. Das vereinfacht die Sache in vielen Fällen gewaltig, weil man statt komplizierter Ungleichungen (hier geht's ja sogar noch, aber stell dir mal vor es kommen noch transzendente Funktionen wie

\exp, \sin

o.ä. im Folgenterm vor) nach mehr oder weniger geschickten Abschätzungen nur noch sehr einfache Ungleichungen zu betrachten hat.

MathMP

20:38 Uhr, 22.02.2019

DANKE vielmals!!

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