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Grenzwert, Lebesgue-Integrierbarkeit

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Tags: Grenzwert, Integration, Maßtheorie

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18:53 Uhr, 29.03.2024

Hallo,

Ich habe leider keine Ideen für folgende Aufgabe:
Sei

f \in L^{1} (ℝ)

. Für

ε > 0

sei

f_{ε} : ℝ \to ℝ

gegeben durch

f_{ε} := \frac{1}{2 ε} \int_{B_{ε} (x)} f (y) d λ_{1} (y)

.
Der Limes

g (x) := l i m_{ε \to 0, ε > 0} (f_{ε} (x))

existiere für fast alle

x \in ℝ

. zeigen Sie: Für fast alle

x \in ℝ

ist

g (x) = f (x)

Ich habe versucht den Limes auszurechnen aber kam nach drei Schritten nicht weiter und weiß auch nicht ob das so stimmt:

g (x) := l i m_{ε \to 0, ε > 0} (f_{ε} (x)) = l i m_{ε \to 0, ε > 0} (\frac{1}{2 ε} \int_{B_{ε} (x)} f (y) d λ_{1} (y)) = l i m_{ε \to 0, ε > 0} (\frac{1}{2 ε} \int_{x - ε}^{x + ε} f (y) d λ_{1} (y))

= l i m_{ε \to 0, ε > 0} (\frac{1}{2 ε} \int_{- ε}^{ε} f (y + x) d λ_{1} (y))

Irgendwie sieht das aus, als könnte man den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden. ich weiß aber nicht, ob es so einen Satz auch für Lebesgue-Integrale gibt.

Ich freue mich über eure Hilfe,

Felix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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