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Grenzwert Multiplikationen

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Peter27 aktiv_icon

12:56 Uhr, 13.02.2021

Hallo! Ich verstehe zwar den Grenzwert, jedoch verstehe ich nicht ganz wie man mit Multiplikationen umgeht.. :-D) (blöd ausgedrückt

: b)

Beispiel

1 n \to

inf

: n \cdot (\frac{1}{3 n \cdot \sqrt{12}})

Beispiel

2 n \to

inf:

\frac{1}{n} \cdot \sqrt{n^{2} + n}

Gibt es hierfür ein paar gute Videos oder könnte mir wer hier im Forum helfen?

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

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Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

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\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

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13:06 Uhr, 13.02.2021

1)

Kürze mit

n!

2) \sqrt{n^{2} + n} = \sqrt{n^{2} \cdot (1 + \frac{1}{n})}

= n \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n}}

Damit fällt

n

raus, weil

\frac{1}{n} \cdot n = 1, \to

inf

= 1

Peter27 aktiv_icon

13:54 Uhr, 13.02.2021

Servus vielen Dank für deine rasche Rückmeldung!

zu Beispiel

1)

Den rechenschritt verstehe ich noch nicht ganz.. Hier hätte ich mir gedacht, dass man

n \cdot (\frac{1}{3 n \cdot \sqrt{12}}) (1

wird zu

n (n

wird zu 1 weil

1 \cdot n = 1

(\frac{n}{3 n \cdot \sqrt{12}}) = (\frac{1}{3 \cdot 1}) = \frac{1}{3}

oder ist diese Begründung einfach nur Müll? :-D)

Für mein verständnis habe ich beispiel 2 nochmal ein paar ummodelliert, stimmen meine Rechenwege hierfür?

\frac{1}{n^{3}} \cdot \sqrt{n^{2} + n} = n \cdot \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{n}{n^{2}}} =

lim \to

inf

= 1 \cdot \sqrt{0 + 0} = 0

Noch ein Beispiel:

\frac{1}{n} \cdot \sqrt{n^{3} + n^{2}} = n \cdot \sqrt{n^{2} + n} = 1 \cdot \sqrt{0 + 1} = 1 \cdot 1 = 1

N8eule

17:48 Uhr, 13.02.2021

Hallo
Der Editor macht's einem sicherlich nicht leicht.
Dennoch ist der bisherige Hergang ein Beispiel an viel Text zu Teilausdrücken, die vor lauter Auslassungen und mangelnder Übersichtlichkeit an Missverständnissen nur so strotzen.
Wenn wir uns alle etwas bemühen

>

Formeln ganz und formal richtig auszuschreiben,

>

erklärende Worte nicht unter die Formelausdrücke zu mischen, sondern durch wenigstens Zeilenumbruch zu trennen,

>

und ein klein wenig den Erfordernissen der Formelschreibweise in diesem Forum entgegen zu gehen,
dann könnten wir sicherlich besser helfend unter die Arme greifen.

zu Beispiel

1)

Ich nehme an, das heißt:

lim_{n \to \infty} n \cdot (\frac{1}{3 \cdot n \cdot \sqrt{12}})

Falls ja, dann galt der Tipp von Supporter in unmissverständlichen Klein-Schritten:

lim_{n \to \infty} n \cdot (\frac{1}{3 \cdot n \cdot \sqrt{12}}) = lim n \cdot \frac{1}{3 \cdot n \cdot \sqrt{12}}

= lim \frac{n}{n} \cdot \frac{1}{3 \cdot \sqrt{12}} = lim 1 \cdot \frac{1}{3 \cdot \sqrt{12}} = lim \frac{1}{3 \cdot \sqrt{12}} = \frac{1}{3 \cdot \sqrt{12}} = \frac{1}{6 \cdot \sqrt{3}}

zu Beispiel

2) :

Willst du mal klarstellen?
Im Ursprungstext

(12 : 56 h)

stand zu verstehen:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sqrt{n^{2} + n}

in der Antwort

(13 : 54 h)

schwafelst du von

\frac{1}{n^{3}} \cdot \sqrt{n^{2} + n}

Was denn nun?

Peter27 aktiv_icon

10:33 Uhr, 14.02.2021

Hallo @n8eule,

erstmals danke für deine Antwort. Sorry, ich bin hier neu im Forum und habe mich mit den Formationen noch nicht gut auseinander gesetzt.

Zu Beispiel

2,

wie schon in meiner 2ten Antwort geschrieben, sind das komplett andere Grenzwertberechnungen, die nur für mein Verständnis dienen um zu überprüfen ob ich die Multiplikationen verstanden habe. Sorry, für den Irrtum, ich habe mich jetzt ein wenig mit LaTex auseinander gesetzt :-D) (Bitte vergisst meine zweite Antwort..)

Hier nochmal formal aufgeschrieben:

Beispiel

1 :

lim_{n \to \infty} {a_{n}} = \frac{1}{n^{3}} \cdot \sqrt{n^{2} + n} = n^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = 1 \cdot \sqrt{0 + 0} = 1 \cdot 0

lim_{n \to \infty} {a_{n}} = 0

Beispiel 2:

lim_{n \to \infty} {b_{n}} = \frac{1}{n} \cdot \sqrt{n^{3} + n^{2}} = n \cdot (\frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n}) = 1 \cdot (0 + 0) = 1 \cdot 0

lim_{n \to \infty} {b_{n}} = 0

Nun meine Frage:
Stimmen meine Rechenschritte hierfür? Ich verzweifle leider ein wenig..

Danke im Voraus!

N8eule

11:04 Uhr, 14.02.2021

Ich habe schon dutzende Male hier erstaunt angemerkt, warum es so furchtbar vielen Teilnehmern schwer fällt, die gerade mal 3 Buchstaben

' lim'

zu nutzen, wo sie hin gehören.
Restliche Anmerkungen, siehe Bild

N8eule

11:20 Uhr, 14.02.2021

Um das mal auf's Gleis zu führen:
Nennen wir das "Beispiel 1" von heute

10 : 33 h

doch mal Beispiel 4.
Beispiel 4:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}} \cdot \sqrt{n^{2} + n} = lim \frac{\sqrt{n^{2} \cdot (1 + \frac{1}{n})}}{n^{3}} = lim \frac{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{n^{3}}

= lim \frac{n \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{n^{3}} = lim \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{n^{2}} = lim \sqrt{1 + \frac{1}{n}} \cdot lim \frac{1}{n} \cdot lim \frac{1}{n} = \sqrt{1 + 0} \cdot 0 \cdot 0 = 0

Nennen wir das "Beispiel 2" von heute

10 : 33 h

doch mal Beispiel 5.
Beispiel 5:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sqrt{n^{3} + n^{2}} = lim \frac{\sqrt{n^{2} \cdot (n + 1)}}{n} = lim \frac{\sqrt{n^{2}} \cdot \sqrt{n + 1}}{n}

= lim \frac{n \cdot \sqrt{n + 1}}{n} = lim_{n \to \infty} \sqrt{n + 1}

...und dass das über alle Grenzen ins Unendliche geht, sollte offensichtlich sein.

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