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Grenzwert berechnen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

bunower aktiv_icon

21:30 Uhr, 04.02.2010

Könnte mir mal jemand bei dem grenzwert helfen?

lim_{x ↓ 0} (\frac{e^{\sqrt{x}} - 1}{\sqrt{sin (2 x)}})

Und noch eine allgemeine frage bei grenzwerten, was versucht man zu vermeiden, dass division durch 0 ensteht oder das die form

\frac{0}{0}

ensteht.
Ich habe bisher immer gedacht, dass man division durch 0 vermeidet aber manchmal sehe ich leute das die das machen und weiter rechnen

z . B

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x}) = 0

(ohne umzuformen).Oder formt man nur dannum wenn dort typ

\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty},0 \cdot \infty

steht.
Gilt das nur dann wenn

x \to 0

strebt oder nehmen an, wir haben ein

lim_{x \to \infty} (...)

und dadurch enstehtt auch der

\frac{1}{0}

ist das auch 0 oder muss ich es auch hier umformen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Timmey aktiv_icon

22:11 Uhr, 04.02.2010

der ausdruck

\frac{0}{0}

bzw.

\frac{\infty}{\infty}

gibt dir die möglichkeit die regel von l'hospital anzuwenden. die besagt du kannst in diesem fall solange zähler und nenner unabhängig voneinander ableiten bis der grenzwert eindeutig bestimmbar ist. allerdings musste halt immer beide parallel ableiten, das funktioniert nicht wenn du den zähler 5 mal und den nenner nur 1 mal ableitest.

im übrigen ist das teilen durch "null" bei grenzwertbildung nicht direkt verboten. man teilt ja nicht wirklich durch null sondern nur durch eine unendlich kleine zahl, die sich der null immer weiter annähert. läuft also bei zB

\frac{1}{x}

der nenner gegen null läuft der ganze bruch gegen unendlich. läuft der nenner gegen unendlich geht der ganze bruch gegen null. bei dem oben gennanten fall mit

\frac{0}{0}

bzw.

\frac{\infty}{\infty}

musste dann wie gesagt l'hospital anwenden.

arrow30

22:26 Uhr, 04.02.2010

moin,

e^{y}

≃

1 + y

wenn

y \to 0

also

e^{\sqrt{x}} \to 1 + \sqrt{x}

dann würde dastehen :

lim_{x \to 0} \frac{1 + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{sin (2 x)}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{sin (2 x)}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

bunower aktiv_icon

11:27 Uhr, 05.02.2010

Arrow ehrlich gesagt habe ich das nicht ganz verstanden.
kannste es bisschen erlaütern?
wenn

y \to 0

geht dann geht doch

e^{y}

gegen

e^{0} = 1

arrow30

11:37 Uhr, 05.02.2010

moin ,
bekannt ist .. wenn

x

sehr klein ist

(x \to 0), e^{\sqrt{x}} = 1 + \sqrt{x}

Probe

: x = 0,000001

dann ist

e^{\sqrt{0,000001}} = 1,000001

und

1 + 0,000001 = 1,000001

die sind sogar gleich in dem Fall (naja mit Abrundung . ) also wir können den Zähler anders schreiben :

(e^{\sqrt{x}}) - 1) = 1 + \sqrt{x} - 1 = \sqrt{x}

dann steht da

: lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin 2 x}} \to^{m i t \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} e r w e i t e r n} \to = lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{sin 2 x}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot x}}{\sqrt{sin 2 x}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{(\frac{2 \cdot x}{sin 2 x})} = \frac{1}{\sqrt{2}}

.
bekannt für dich soll dieser Grenzwert sein

\to lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1 = lim_{x \to 0} \frac{x}{sin x}

arrow30

11:49 Uhr, 05.02.2010

Nachtrag ..siehe das Bild beide Funktionen für

x \to 0

verhalten sich sehr ähnlich

bunower aktiv_icon

11:52 Uhr, 05.02.2010

superdanke aber das war jetzt eine klausur aufgabe wie soll ich dass denn wissen?
sowas regt mich auf!
kennst du eine seite wo bekannte grenzwerte stehen?

arrow30

11:58 Uhr, 05.02.2010

mit dem lieben L'hospital kommst du auch auf das gleiche hoffentlich :-D)

lim_{x \to 0} \frac{e^{\sqrt{x}} - 1}{\sqrt{sin 2 x}} = \frac{0}{0} \to^{L' H} = lim_{x \to 0} (\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \cdot \frac{e^{\sqrt{x}}}{cos 2 x} \cdot (\sqrt{sin 2 x}))

e^{\sqrt{x}} \to 1

cos 2 x \to 1

bleibt nur noch

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{sin 2 x}}{2 \cdot \sqrt{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{sin 2 x}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

bunower aktiv_icon

12:22 Uhr, 06.02.2010

ahhh ok super danke

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