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Grenzwert berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

maxbo aktiv_icon

20:35 Uhr, 02.05.2016

Guten Abend!

Ich sitze schon seit langer Zeit an einer Aufgabe, wo ich einfach nicht weiterkomme. Gegeben ist die Folge

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} {(\sqrt{3} - 1)}^{k}

Man soll den Grenzwert berechnen, falls dieser existiert.

Ich habe zunächst versucht das Summenzeichen zu entfernen mithilfe der geometrischen Summenformel:

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} {(\sqrt{3} - 1)}^{k} = \sum_{k = 0}^{n} {(\sqrt{3} - 1)}^{k} - 1 = \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{n + 1} - 1}{\sqrt{3} - 2} - 1

Ab hier hab ich Seitenlang herumgerechnet,

z . B

mit

\sqrt{3} + 2

erweitert, sodass man dann die dritte binomische Formel anwenden kann und so weiter. Aber irgendwie klappt das überhaupt nicht, weil ich dann

{(\sqrt{3} - 1)}^{n + 1}

oder so irgendwo stehen habe und ich das nicht wegbekomme.

Kann mir da jemand einen Tipp geben? :-)

LG
Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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IPanic aktiv_icon

20:55 Uhr, 02.05.2016

Hey,
ist dir bekannt, dass

lim_{n \to \infty} z^{n} = 0

für alle

z \in ℂ

mit

| z | < 1

?
Denn es ist

| \sqrt{3} - 1 | < 1

und damit

lim_{n \to \infty} {(\sqrt{3} - 1)}^{n + 1} = lim_{n \to \infty} {(\sqrt{3} - 1)}^{n} \cdot (\sqrt{3} - 1) = 0

maxbo aktiv_icon

21:02 Uhr, 02.05.2016

Hey :-)

Ja, das ist mir bekannt, aber ich wusste nicht, ob ich das hier anwenden darf, weil ich ja ein Summenzeichen da stehen hab. Gilt das also auch bei

\sum_{k = 1}^{n} q^{k}

IPanic aktiv_icon

21:10 Uhr, 02.05.2016

Aber die Summe hast du doch aufgelöst (endliche geometrische Reihe). Die bekannten Rechenregeln für Grenzwerte kannst du nach dem Auflösen ohne Schwierigkeiten anwenden.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

für alle

q

mit

| q | < 1

(such mal nach geometrische Reihe). Das hast du durch deine obige Ausführung dann auch bewiesen (Forme genauso wie oben um, nur mit

q, | q | < 1

anstatt

\sqrt{3} - 1)

maxbo aktiv_icon

21:20 Uhr, 02.05.2016

Ahh... jetzt verstehe ich. Vielen Dank! :-)

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