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Grenzwert berechnen Typ a^x

Schüler

Tags: Grenzwert, lim

 
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Gerhart332

Gerhart332 aktiv_icon

16:37 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Hallo,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

limxπ2;(1x-π2)cos(x)


Setzt man π2 ein, erhält man den unbestimmten Ausdruck 0 (unendlich hoch 0)
Dann formt man um damit man die e-Form hat

ecos(x)ln(1x-π2)

bisschen vereinfacht:

ecos(x)(ln(1)-(x-π2)) wobei ln(1)=0 ist



Doch wie komme ich nun an dieser Stelle weiter?
Wenn ich mich nicht täusche haben wir nämlich gerade den Ausdruck e hoch 0 mal unendlich,
was ja ein unbestimmter Ausdruck ist.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

18:17 Uhr, 28.06.2020

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Hallo,

ich setzt mal den Grenzwert ein

ecos(π2)(ln(1)(π2π2))=ecos(π2)(0(00))=e00=e0=1

Gruß
pivot
Gerhart332

Gerhart332 aktiv_icon

18:45 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Oh, ich habe bei der Umformung den zweiten ln vergessen. Also hätte man ln(0) beim Einsetzen stehen. Und das ist nicht def. Oder soll man davon ausgehen dass der ln von etwas sehr kleinem minus unendlich ist?
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

19:14 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Ich sehe gerade, dass du es nicht richtig aufgeschrieben hattest. Es is in der Tat ln(0) nicht definiert. Jedoch als Grenzwert existiert er: limx0ln(x)=-. Dann ist der Exponent aber wieder unbestimmt.
Gerhart332

Gerhart332 aktiv_icon

19:18 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Vielleicht hilft dann im Exponenten eine Umformung u(x)v(x)=ux1v(x)
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

19:33 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Möglicherweise. Probiere es einfach mal aus.
Antwort
abakus

abakus

20:37 Uhr, 28.06.2020

Antworten
Vielleicht berechnest du an Stelle des Grenzwertes des Terms erst mal den Grenzwert vom natürlichen Logarithmus des Terms. L'Hospital könnte dabei helfen.
Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

00:48 Uhr, 29.06.2020

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Hallo,

wie findet ihr den mit der kleinen Einschränkung ?

limxπ2x>π2(1x-π2)cos(x)

=limxπ2x>π2(1x-π2)sin(π2-x)

=limxπ2x>π2(1x-π2)-sin(x-π2)

=limy0y>0(1y)-sin(y)

=limy0y>0ysin(y)=00=1.


Ich argumentiere damit, dass

limy0y>0εsin(y)=ε0=1

für jedes positive und insbesondere beliebig kleine ε, zudem ist 00:=1.

Falls das hier keinen Anklang finde, habe ich auch noch einen anderen Beweis auf Lager, der aber nicht wirklich schön ist...


Antwort
Mathe45

Mathe45

02:14 Uhr, 29.06.2020

Antworten
00 ist ein "unbestimmter Ausdruck" !
Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

03:08 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Oh, habe ich gerade auf Wikipedia auch nachgelesen -
ich dachte bis gerade eben, 00 sei allgemein 1.
Na ja, wieder was gelernt, Danke !
Hier mein anderer Vorschlag:


  x(π2,) gilt

(1x-π2)cos(x)=e-ln(x-π2)cos(x)=e-ln(x-π2)sin(π2-x)=eln(x-π2)sin(x-π2)=eln(y)sin(y)

mit x-π2=:y(0,).

  y[0,1) gilt

ysin(y)0   (denn sin(y) ist die Strecke unter dem Kreisbogen y)

und somit

eln(y)yeln(y)sin(y)1.

Aus

limy0y>0ln(y)y=0     (siehe Anhang)

folgt dann

limxπ2x>0(1x-π2)cos(x)=limy0y>0eln(y)y=e0=1.



Bem.:

Der angehängte Satz wird in dem Buch mit einem ganzen Bündel
von Sätzen in einem Aufwasch bewiesen und daher dort im Bild
nicht so wirklich - googlen...

Und noch etwas, fast peinliches: Dass ysin(y) für kleine y
kann ich, so anschaulich es geometrisch auch ist, nicht rein
rechnerisch zeigen.
Mit Beweisen, dass sin(y)y gegen 1 für y gegen 0 geht,
wird man im Netz totgeschmissen, doch zu dieser "Banalität"
herrscht großes Schweigen...


Screenshot_20200628-222709_Gallery
Antwort
N8eule

N8eule

09:00 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Hallo
Ich nenne unseren Grenzwert mal "G".
Bis zum Schritt

G=limy0ysin(y)

konnte ich das bei Enthirnt nachvollziehen und gutheissen.
Jetzt mein Vorschlag:

G=limy0ysin(y)=limeln(ysin(y))=limesin(y)ln(y)

=elim(sin(y)ln(y))=G=ew

mit:
w=limy0sin(y)ln(y)

Nun, wie schon empfohlen, Zielrichtung l'Hospital:

w=limln(y)1sin(y)=limuv=limu'v'=lim1y-cos(y)sin2(y)

w=-limsin2(y)ycos(y)=-limy0[sin(y)y]limy0[sin(y)cos(y)]=-[1][01]

w=0

Rücksubstitution:
G=ew=e0=G=1

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:40 Uhr, 29.06.2020

Antworten
> Und noch etwas, fast peinliches: Dass y=sin(y) für kleine y kann ich, so anschaulich es geometrisch auch ist, nicht rein rechnerisch zeigen.

"Rein rechnerisch" heißt für dich, dass du einen auf der geometrischen Sinusdefinition fußenden Beweis nicht anerkennst? Also etwa einen, der die Aussage benutzt "die Strecke hat von allen Verbindungskurven zweier Punkte die geringste Länge"? Genau damit kann man nämlich sin(x)<x für alle 0<x<π beweisen.


@N8eule

Ich hätte die auch von dir genutzte Abtrennung von limy0sin(y)y=1 gleich schon am Anfang der Umformungskette genutzt:

limy0ln(y)sin(y)=limy0ln(y)1ysin(y)y

Dann führt auch L'Hospital beim ersten Faktor gleich zu viel einfacheren Termen. :-)

Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

11:13 Uhr, 29.06.2020

Antworten
HAL, natürlich glaube ich dem anschaulich Klaren,
Wir hätten aber gerne auch was in "mathisch" dafür...
Antwort
N8eule

N8eule

11:37 Uhr, 29.06.2020

Antworten
"Dass ysin(y)... ist"

Na ja, rein geometrisch anschaulich lässt sich doch am Einheitskreis leicht zeigen:
Die "Höhe" s(=sin(y)) ist doch kleiner, als die "Diagonale" d, weil
s<s2+w2=d

Die "Diagonale" d aber ist doch kleiner, als der Bogen b.



Oder, wenn du noch einen 'mathematischen' Beweis brauchst, dann vielleicht über die Reihenentwicklung:

sin(y)=y-y33!+...


online46
Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

12:48 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Hm, Reihenentwicklung mit Restgliedabschätzung gibt

sin(x)x+x33! für 0x4     (Formeln angehängt)

Da sehe ich nun keinen Durchbruch...

Wir glauben das jetzt einfach mal, sin(x)x, jawollja !


Aber ich möchte nochmal zeigen, dass

limx0x>0xln(x)=0.

Denn

limx0x>0xln(x)

=limyy>01yln(1y)

=limyy>0-ln(y)y

=limz-ze-z   mit z:=ln(y)

=limz-(ezz)-1

=0   wegen limzezz=.

Zu letzter Behauptung betrachte folgende Reihenabschätzung:

Für z>0 gilt ezz=k=0zk-1k!>z2

und z2  (z).

Screenshot_20200629-120525_Gallery
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:55 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Nein, nicht x+x3/3!, sondern x-x3/3!.

Übrigens, sin(x)x ist elementar über die Ableitung zu zeigen, denn für
f(x)=x-sin(x) gilt fʹ(x)=1-cos(x)0 überall und sogar >0 für fast alle x. Damit ist f(x) monoton steigend, also für x>0 gilt f(x)>f(0)=0 und für x<0 gilt f(x)<0.


Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

14:14 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Oh yo, Danke !

Für 0<x<1 sind zwei aufeinanderfolgende Summanden der Sinus-Reihe positiv

x2k+1(2k+1)!-x2k+2(2k+2)!>0,

daher dann

sin(x)<x-x36, also

sin(x)<x.

Den nehmen wir mit und wissen Bescheid beim nächsten Mal, Danke !
Frage beantwortet
Gerhart332

Gerhart332 aktiv_icon

14:28 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Danke! Ihr habt mir gut geholfen
Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

23:31 Uhr, 29.06.2020

Antworten
Eine Compilation noch, nachdem nun alles beisammen ist.
Der "0^0-Beweis" rechts sei zum Schmunzeln...

49_Limes 0^0
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:02 Uhr, 30.06.2020

Antworten
> Übrigens, sin(x)x ist elementar über die Ableitung zu zeigen

Ansichtssache, das als "elementar" zu bezeichnen: Für viele führt der Weg zur Ableitungsberechnung des Sinus überhaupt erst über den Grenzwert limxsin(x)x=1, während dieser wiederum aus sin(x)<x<tan(x) im ersten Quadranten folgt, was geometrisch gut begründbar ist (auch wenn Leute wie Enthirnt das als "unmathematisch" empfinden - m.E. einfach nur eine unüberlegte, dünkelhafte Einstellung). Da mit der Ableitung zu argumentieren, da beißt sich die Katze in den Schwanz - die sollte daher erstmal in der Argumentation außen vor bleiben.

Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

17:14 Uhr, 30.06.2020

Antworten
"Leute wie Enthirnt"...
Hab' noch keinen getroffen wie mich, wär ich mal froh darüber...
Ich empfinde den geometrisch-anschaulichen Beweis auch gar
nicht als irgendwie minderwertig, ich bin aber auch immer
froh über ein Förmelchen - für mich schließt sich dann der
Ring irgendwie.
Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

18:52 Uhr, 30.06.2020

Antworten
DrBoogie,

für 0<x<1 ist nicht sin(x)x-x36

Die Restgliedabschätzung liefert lediglich sin(x)x+x36

und ist für einen Beweis sin(x)x daher nutzlos.

Um dem ganzen Spuk jetzt mal ein Ende zu bereiten,

nun dieser Beweis.

  x(0,1)   gilt   x-x36<sin(x)<x.

x-x36<sin(x) folgt aus

sin(x)=k=0(-1)kx2k+1(2k+1)!

=x-x36+k=2(-1)kx2k+1(2k+1)!

=x-x36+k=1(x2(2k)+1(2(2k)+1)!-x2(2k+1)+1(2(2k+1)+1)!)

=x-x36+k=1(x4k+1(4k+1)!-x4k+3(4k+3)!)

=x-x36+k=1x4k+1(4k+1)!(1-x2(4k+2)(4k+3)),

denn

k=1x4k+1(4k+1)!(1-x2(4k+2)(4k+3))>0.

sin(x)<x folgt aus

x36>k=2(-1)kx2k+1(2k+1)!,

denn x2k+1(2k+1)!>x2(k+1)+1(2(k+1)+1)!

und k=2(-1)kx2k+1(2k+1)!

ist alternierend.


Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

21:06 Uhr, 30.06.2020

Antworten
Ich entschuldige mich für den durch meine Compilation
und den Beitrag davor trahierten mangelhaften Sinus-Beweis
und schicke noch eine Beta-Version hinterher.

Ja, dass

x-x36<sin(x)<x    0<x<1,

kann man auch zeigen, indem man allgemeiner

S2p>Sq>S2p+1    q>2p+1

mit   Sn=k=0n(-1)kx2k+1(2k+1)!   zeigt.

Vorgehensweise dabei grad nach dem Schema,

mit dem auch das Leipniz'sche Konvergenz-Kriterium

für alternierende Reihen bewiesen wird...




50_Limes 0^0
Antwort
Enthirnt

Enthirnt aktiv_icon

23:43 Uhr, 30.06.2020

Antworten
Und noch eine Selbstkorrektur:

Die Restgliedabschätzung taugt doch zum Beweis (siehe Anhang),

wenn man nicht n=0, wie ich es oben versuchte, sondern n=1 wählt.

Dann hat man

sin(x)x-x36+x5120    x(0,1)

und mit

-x36+x5120=x36(x220-1)<0

folgt dann

sin(x)<x    x(0,1).


Uuuund noch was: Der Satz in beiden Compilations

" (denn sin(y) ist die Strecke unter dem Kreisbogen y) "

hinkt natürlich - wenn überhaupt, sollte es

" (denn (sin(y))2+(1-cos(y))2 ist die Strecke unter dem Kreisbogen y) "

lauten.

Bitte schneiden Sie den daher mit Windows-Paint raus...

So, sowas passiert, wenn man privat lineare Algebra lernt und

parallel auf Onlinemathe Analysis (mit Geometrie natürlich, HAL) macht.

Jetzt habe ich fertig und danke nochmal für die Inspiration

durch diesen Thread und den damit verbundenen Formeldrill !


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