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Grenzwert berechnen, existiert Grenzwert?

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Tags: Folgen, Funktion, Grenzwert, Reihen

eXistenZ aktiv_icon

23:04 Uhr, 08.06.2011

Huhu leute,
ich habe mal wieder eine Frage xD

Ich bearbeite folgende Aufgabe.

Bestimmen sie den Grenzwert:

lim_{x \to \infty} (\frac{x^{3} + x}{2 x^{3} - 5}) \cdot (\frac{cos (x)}{x} + 1)

jetzt würde ich sagen das ich den limes quesi "aufsplitte" in

lim_{x - \infty} (\frac{x^{3} + x}{2 x^{3} - 5}) \cdot lim_{x - \infty} (\frac{cos (x)}{x} + 1)

und somit erst den einen limes und dann den anderen ausrechne in dem ich das

x

gegen unendlich streben lasse und beide grenzwerte am ende miteinander multipliziere.

Nun erinnere ich mich daran (und wikipedia als auch meine aufschriebe belegen dies) das doch die Grenzwertregel die mir erlaubt diesen liemes auseinander zu ziehen, nur gültig ist wenn ich weiß das

lim_{x - \infty}

auch existiert.
Da ich zum jetzigen zeitpunkt dies aber nicht beweisen kann darf ich obrige regel auch nicht anwenden oder?
Müsste ich nun zuerst beweißen das ein solcher grenzwert exstiert? wenn ja wie beweiße ich die existenz von grenzwerten?

Oder gibt es gar eine andere lösung?

gruß

e Ξ

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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CKims aktiv_icon

23:51 Uhr, 08.06.2011

"Da ich zum jetzigen zeitpunkt dies aber nicht beweisen kann darf ich obrige regel auch nicht anwenden oder?"

man darf ruhig die regel erstmal anwenden und dann schauen was passiert. existieren die grenzwerte, so hast du gewonnen. existieren diese nicht, musst du sowieso von vorne anfangen und alles streichen, wohlwissend, dass du die aufsplittung nicht anwenden durftest (wenn auch im nachhinein). diese falsche aufsplittung gibst du ja dann NICHT als loesung an. das ist auch die uebliche praxis.

"Müsste ich nun zuerst beweißen das ein solcher grenzwert exstiert? wenn ja wie beweiße ich die existenz von grenzwerten?"

deshalb musst du das auch nicht beweisen... (es sei denn es ist explizit danach gefragt).

"Oder gibt es gar eine andere lösung?"

es fuehren meistens mehrere wege zum ziel... hier habe ich aber nicht nach anderen wegen geguckt, weil deine herangehensweise schon sehr gut ist...

lg

eXistenZ aktiv_icon

23:53 Uhr, 08.06.2011

ok ich danke dir vielmals für die schnelle und gute antwort.
Dann werde ich mal mit meiner lösung weiter machen

\land

gruß

e Ξ

eXistenZ aktiv_icon

00:43 Uhr, 09.06.2011

entschuldigt für den doppelpost, aber im verlauf des aufgabenblattes habe ich gemerkt das ich doch noch eine frage habe xD

Wenn in der Aufgabe nämlich nun steht:

Entscheiden Sie, ob die Grenzwerte existieren und bestimmen Sie sie gegebenenfalls.

Hier darf ich nun wirklich keine Grenzwertregeln mehr verwenden weil ich ja erst "zeigen" muss das der grenzwert existiert (oder auch nicht existiert)

"Zeige" ich ob ein grenzwert existiert indem ich einfach das

x

gegen den wert laufen lasse?

z . B

lim_{x \to \infty} \frac{sin (x)}{x}

Ich habe im hinterkopf das ein limes existiert sollte die Folge konvergent sein?
sprich konvergiert

\frac{sin (x)}{x}

so existiert ein grenzwert?

2. Frage:
habe ich nun etwas in dieser Form

lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}

darf ich nur das

x

durch eine 3 "ersetzen" wenn ich nachweiße das der Ausdruck (darf man es Funktion nennen) stetig ist?

gruß

e Ξ

CKims aktiv_icon

13:19 Uhr, 09.06.2011

"Zeige" ich ob ein grenzwert existiert indem ich einfach das

x

gegen den wert laufen lasse?

ja, das reicht aus...

"Ich habe im hinterkopf das ein limes existiert sollte die Folge konvergent sein?
sprich konvergiert

\frac{sin (x)}{x}

so existiert ein grenzwert?"

ja.

"

lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 8}{x - 2}

darf ich nur das

x

durch eine 3 "ersetzen" wenn ich nachweiße das der Ausdruck (darf man es Funktion nennen) stetig ist?"

im prinzip kann man das mit dem beweisen immer auf die spitze treiben. es steht aber nur da "entscheiden sie" und "bestimme". das sind ziemlich schwache ausdruecke. es reicht somit aus wenn du:

du darfst das

x

durch eine 3 ersetzen. du musst nicht extra stetigkeit nachweisen. man kann es funktion nennen. ich wuerde lieber den begriff term verwenden.

lg

eXistenZ aktiv_icon

19:19 Uhr, 09.06.2011

und wieder einmal wurde mir super geholfen!

ich danke dir

\land

e Ξ

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