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Grenzwert berechnen , lim -> unendlich

Schüler

Tags: Funktion, Grenzwert, unendlich

Berg1 aktiv_icon

15:09 Uhr, 19.07.2015

Hallo,

Aufgabe )

Limes

x \to

unendlich

\frac{4 x^{3} + x^{2} - 3}{- 5 x^{2} + 2 x - 6}

Wie geht man hier vor ? Normalerweise suche ich immer den höchsten exponent und dann Kürze ich. Allerdings ist mein Problem hier das im Zähler ein höhere Expont besitzt als im Nenner. Und die Aufgaben die ich immer gelöst habe war sowohl im Zähler als auch Nenner die gleich hohen exponent...

Beispiel :

\frac{4 x^{3} + x^{2} - 3}{- 5 x^{3} + 2 x - 6} = \frac{x^{3} ((4 \frac{x^{3}}{x^{3}}) + (\frac{x^{2}}{x^{3}}) - (\frac{3}{x^{3}}))}{x^{3} (- 5 \frac{x^{3}}{x^{3}} + 2 \frac{x}{x^{3}} - \frac{6}{x^{3}}}

Und dann kürzen.. Und dann streben paar Brüche zu 0 und dann lautet die Lösunf

= \frac{4}{- 5}

Also mit solchen Aufgaben habe ich kein Problem.

Aber wie gesagt was ist wenn im Zähler oder im Nenner eine hohe exponent liegt ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Atlantik aktiv_icon

15:19 Uhr, 19.07.2015

Schau mal die Regel von L´ Hospital an:

mfG

Atlantik

Berg1 aktiv_icon

15:25 Uhr, 19.07.2015

Die Regel kenne ich :

Man darf die anwenden wenn im Zähler und Nenner

: \frac{0}{0}

wird oder unendlich/unendlich

Hier wird ja im Zähler Unendlich und im Nenner bin ich mir nicht sicher

. .

- 5 x^{2}

wird zu - unendlich und

2 x

zu unendlich was kommt im Nenner raus ? - oder plus unendlich

Spielt das eine Rolle , ob man

l

Hospital anwenden darf ?

Also eigentlich wird im Nenner - Unendlich also dh. Unendlich

/ -

Unendlich

Aber die Regel lautet ja unendlich / unendlich

. .

Roman-22

15:29 Uhr, 19.07.2015

Man muss ja nicht grundsätzlich alles mit de l'Hôspital erschlagen.

Du kannst hier genau so vorgehen wie du es skizziert hast, nämlich im Zähler und Nenner die insgesamt höchste Potenz von

x

(hier

x^{3})

ausklammern und kürzen:

... = lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} \cdot (4 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x^{3} \cdot (- \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}})} = lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{- \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}} =

\frac{4}{0}

\to \infty

Anschaulich:

x^{3}

im Zähler strebt "schneller" gegen Unendlich als

x^{2}

im Nenner.

Analog erhältst du als Grenzwert

0,

wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als jener des Nennerpolynoms.

R

Berg1 aktiv_icon

15:40 Uhr, 19.07.2015

Hmm kann man das auch so mache

. .

. und auch die volle Punkzahl bekommen ?

Also : die Regeln lauten ja : unendlich/a = unendlich ; -unendlich/a

= -

unendlich , a/unendlich

= 0

Und wenn man das weiß dann kann man die Aufgabe doch sofort berechnen

. .

4 x^{3} =

unendlich und

x^{2} =

unendlich und

- 3

spielt ja dann keine Rolle oder ? Dann kommt im Zähler Unendlich raus

Und wenn ich das gleiche im Nenner mache kommt - Unendlich raus

Somit steht ja Unendlich

/ -

Unendlich

= -

Unendlich

( Da wenn man ein beliebiges Zahl mit ein negatives Zahl dividiert

= -

raus kommt... )

Das wäre meine Lösung bzw. Theorie wenn man so rechnen darf..... Aber du hast ja plus unendlich ...kp

Ich nehme alles zurück... So kann man das nicht machen

. .

Roman-22

15:55 Uhr, 19.07.2015

>

Hmm kann man das auch so mache

. .

. und auch die volle Punkzahl bekommen ?
Was meinst du mit "so".
Wenn das die Ausführung mit dem Ausklammern etc. betrifft, so würde ich sagen, ja. Das ist vollkommen korrekt.
Wenn du dich auf das beziehst, was ich unter "Anschaulich:" geschrieben hatte, dann lieber nicht, wenn es ein eigenständiges Beispiel ist. Wenn der Grenzwert im Rahmen einer längeren anderen Aufgabe vorkommt und man dir eine gewisse Erfahrung zutraut, dann mag die Argumentation "das sieht man, weil ..." auch genügen.
Im Zweifelsfall gilt aber immer das, was dein Lehrer festlegt.

>

Ich nehme alles zurück... So kann man das nicht machen

. .

.
Das ist gut, denn ich hab nichts von dem, was du geschrieben hast, verstanden, Das war mir dann doch zu wirr und von der Notation her zu undeutlich.

R

KORREKTUR: Mit dem Vorzeichen hatte ich mich geirrt. Der Grenzwert deines Ausdrucks ist natürlich

- \infty,

nicht

+ \infty

. Wir nähern uns im Nenner der Null ja von links bzw. könnten das Minus ausklammern.

Berg1 aktiv_icon

17:18 Uhr, 19.07.2015

Alles klar danke.

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