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Grenzwert berechnen oder Nichtexistenz beweisen

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Grenzwerte

Tags: Funktion, Grenzwert

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19:21 Uhr, 12.08.2012

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte oder weisen Sie deren Nichtexistenz nach:

(a)

l i m_{x \to \infty} s i n (2 π x)

Behauptung: Der Grenzwert existiert nicht.

Ist die Folge konvergent mit Grenzwert a, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen a

Wir zeigen nun, dass zwei Teilfolgen nicht den gleichen Grenzwert haben:

Sei nun

(a_{x}) = s i n (2 π x)

die Folge aller

x \in ℕ

. So ist

l i m_{x \to \infty} (a_{x}) = 0

Sei nun

(b_{x}) = s i n (2 π x)

die Folge aller

x \in {0, 25 k : k \in {1, 5, 9, 13 . . .}}

. So ist

l i m_{x \to \infty} (b_{x}) = 1

Damit ist

l i m_{x \to \infty} (a_{x}) = 0 \neq 1 = l i m_{x \to \infty} (b_{x})

und der Grenzwert existiert nicht.

(b)

l i m_{x \to 0} \frac{x^{2}}{c o s^{2} x - 1}

Wie gehe ich hier vor? Der Kosinus bereitet mir Probleme. Da es sich allerdings beim Kosinus um eine Gerade Funktion handelt, gehe ich davon aus, dass der Grenzwert existiert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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