Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert berechnen ohne L'Hospital

Grenzwert berechnen ohne L'Hospital

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Geronimo234 aktiv_icon

14:05 Uhr, 30.08.2015

Hallo,

ich habe bald meine Klausur über Differenzial- und Integralrechnung II und bin grade dabei, meine letzten Verständnislücken zu schließen :-)

Bei einer Aufgabe zur Grenzwertberechnung fehlt mir leider der Lösungsansatz:

G = lim x \to 0 \frac{2 x^{3} \cdot sin (x)}{{(1 - cos (x))}^{2}}

Die Aufgabe darf nicht mit der Regel von L'Hospital gelöst werden..

Eine weitere, ähnliche Aufgabe wäre:

G = lim x \to 0 \frac{x^{2} - {sin (x)}^{2}}{2 \cdot {(x \cdot sin x)}^{2}}

Ich kenne aber leider nur diese Methode zur Grenzwertbestimmung :-P)
Die H-Methode gibt es noch, die hilft mir im diesem Fall aber nicht weiter oder?

Gibt es noch andere Methoden?

Danke für die Hilfe,

Geronimo234

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

rundblick aktiv_icon

14:27 Uhr, 30.08.2015

.
" Die Aufgabe darf nicht mit der Regel von L'Hospital gelöst werden.."

\to

na klar .. da solltest du einfach mal in deiner Formelsammlung
bei den Formeln zu den trigonometrischen Funktionen nachschauen..
und dann alles auf halbe Winkel umschreiben ..
(substituiere anschliessend zB

\to u = \frac{x}{2})

und wenn du nun noch den Grenzwert

lim_{u \to 0} (\frac{sin (u)}{u})

kennst,

dann hast du sofort für

G = 8

ok?

Geronimo234 aktiv_icon

18:51 Uhr, 30.08.2015

Hi,

danke schon mal für die Antwort!

Leider ist mir das noch so gar nicht schlüssig :-D)

Die Aufgabe ist aus einer Altklausur von einem anderen Prof, in meinem jetzigen Skript finde ich daher auch keine möglichen Lösungsanätze..

Trotzdem wäre es eine gute Übung im Umgang mit den Spielereien um

\frac{cos}{sin},

die ich allesamt noch nicht gut kann..

Aus einer Formelsammlung im Internet ergibt sich aber:

cos (\frac{x}{2}) =

Wurzel

(\frac{1 - cos (x)}{2})

und

sin (\frac{x}{2}) =

Wurzel

(\frac{1 + cos (x)}{2})

.

Ich nehme an ich muss dies Quadrieren um die Wurzel weg zubekommen..

Wie setze ich das ganze denn aber nun ein? Muss ich einfach alle

x

durch

\frac{x}{2}

ersetzten?
Das wäre für die erste Aufgabe zb:

(\frac{{(\frac{x}{2})}^{2} - (1 - \frac{cos x}{2})}{2 \cdot {(\frac{x}{2})}^{2} \cdot \frac{1 - cos x}{2}})

(die

1 -

befindeet sich hier noch im Zähler)

Aber Substitution bringt mir dann doch nichts..ich kann die Zähler noch separieren und kürzen, dann komm ich aber auf einen Grenzwert von

\frac{1}{2},

richtig wäre

\frac{1}{6}

. Bei der zweiten Aufgabe würde das leider garnicht erst gehen..

ledum aktiv_icon

19:21 Uhr, 30.08.2015

Hallo
L'Hopital ist eigentlich nichts anderes, als die Taylorreihe der fkt einnzusetzen
1 mal L'Hopital0

t_{1} n

mal L'Hopital=T_n+R_n

R_{n}

muss nicht sein, wenn man einfach die ganze Reihe hinschreibt.und dann durch

x^{n}

kürzt.
aber wenn man die Taylorreihe hinschreibt heisst es eben nicht mehr nach dem Herrn.
Gruß ledum

Respon

19:40 Uhr, 30.08.2015

Eigentlich steht der Lösungsweg ja schon oben ( Halber Winkel

!)

. Man muss nur zielführend umformen.

{(1 - cos (x))}^{2} = {(1 - cos (2 \cdot \frac{x}{2}))}^{2} = {(1 - {cos}^{2} (\frac{x}{2}) + {sin}^{2} (\frac{x}{2}))}^{2} = {({sin}^{2} (\frac{x}{2}) + {sin}^{2} (\frac{x}{2}))}^{2} = 4 \cdot {sin}^{4} (\frac{x}{2})

sin (x) = sin (2 \cdot \frac{x}{2}) = 2 \cdot sin (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2})

x^{3} = 8 \cdot {(\frac{x}{2})}^{3}

\Rightarrow

\frac{2 \cdot x^{3} \cdot sin (x)}{{(1 - cos (x))}^{2}} = \frac{2 \cdot 8 \cdot {(\frac{x}{2})}^{3} \cdot 2 \cdot sin (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2})}{4 \cdot {sin}^{4} (\frac{x}{2})} = 8 \cdot {(\frac{\frac{x}{2}}{sin (\frac{x}{2})})}^{3} \cdot cos (\frac{x}{2})

Wenn

x \to 0,

so auch

\frac{x}{2} \to 0

Setzen wir den Grenzwert in der ersten Klammer als gegeben voraus, so

\Rightarrow

Grenzwert 8

-Wolfgang-

22:06 Uhr, 30.08.2015

@Respon: "..nur zielführend umformen.."

das 'nur' soll wohl ein Scherz sein?

Deine Umrechnungskünste faszinieren mich immer wieder! :-)

VLG Wolfgang

rundblick aktiv_icon

23:02 Uhr, 30.08.2015

\frac{2 x^{3} sin (x)}{{(1 - cos (x))}^{2}}

@ Wolfgang

damit du nicht vor lauter Staunen über die Umrechnungskünste von Respon
noch Minderwertigkeitskomplexe bekommst - hier die erste Hilfe für dich:

\to

Hinweis war: .. "halbe Winkel .. siehe Formelsammlungen..

\to

dort findest du mühelos brauchbare Halbwinkelformeln

. .

. zB naheliegend für den Nenner:

\to 1 - cos (x) = 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{x}{2})

\to

oder für den Zähler nach Additionstheorem

\to sin (x) = 2 \cdot sin (\frac{x}{2}) \cdot cos (\frac{x}{2})

und nun brauchst du das nur noch bei

\frac{2 x^{3} sin (x)}{{(1 - cos (x))}^{2}}

einsetzen

\to

und schon hast du Respon's Ergebnis

\to 8 \cdot {(\frac{\frac{x}{2}}{sin (\frac{x}{2})})}^{3} \cdot cos (\frac{x}{2})

\to

und kannst fasziniert - aber scherzverdachtfrei - nachvollziehen, was

\to

"..nur zielführend umformen.." meint..

.

-Wolfgang-

23:12 Uhr, 30.08.2015

@Rundblick: (Entschuldigung an andere Leser!)

Hatte das Fehlen deiner Stänkereien schon erfreut - aber verwundert - bemerkt!

Schön, dass du dich auch schon meldest, wenn du die Rechnung von respon nur noch nachvollziehen musst, was nun wirklich nicht so schwierig ist, dass DU es mir erklären musst!

Lass mir endlich meine Ruhe, du gehst mir auf den Geist mit deinem Gelaber!!!

W

rundblick aktiv_icon

23:42 Uhr, 30.08.2015

.

".. du gehst mir auf den Geist .."

@Wolfgang:
.. na super - aber ich bin vergeblich gegangen

\to

da war kein Geist !

und zu deiner Info:
Niemand hat dich gebeten hämisch über die Arbeit von Respon als Scherz zu urteilen.

\to

sie hat meine Anregung aufgegriffen und gut und fast zu ausführlich ausgearbeitet.
( siehe: der erste Beitrag war von mir ,da war der Weg vorgeschlagen und auch schon
das Ergebnis

\to G = 8

angemerkt)
also lass deine primitiven Pöbeleien..

.

-Wolfgang-

00:00 Uhr, 31.08.2015

@Rundblick: (noch einmal für andere Leser: tut mir wirklich leid!)

Es ist eine Unverschämtheit, genauer eine "üble Nachrede", meine Bemerkung an respon als "hämisch" zu bezeichnen. (Aber dir fehlt ja jeder Bezug zur Realität!)

Wer hier "pöbelt", überlasse ich einfach der Beurteilung derer, die das gelangweilt lesen!

Ab jetzt werde ich jeden verbalen persönlichen Angriff auf meine Person einfach MELDEN!

W

P . S

. Ich habe vergeblich gewartet, dass du dem Fragesteller weiterhilfst - der schon um

18 : 51

Uhr mitgeteilt hat, dass er mit deinen knappen Hinweisen - den Grenzwert gibt jedes Programm direkt an - nicht klarkommt, und das bei einem pädagogischen Genie, denn dafür hältst du dich offensichtlich.

Geronimo234 aktiv_icon

00:07 Uhr, 31.08.2015

Nun, ich hoffe ich habe allen nicht allzu viele Umstände gemacht und hoffe dass sich alle wieder vertragen :-D)

Danke für die Hinweise an alle, ich werde das morgen nochmal durchgehen und versuchen die andere Aufgabe zu losen, die eine sollte nun ja kein Problem mehr darstellen!
Falls ich mit der anderen Probleme haben sollte, melde ich mich nochmal..

Danke und lieben Gruß

Respon

00:32 Uhr, 31.08.2015

2. Beispiel ( Falls Reihenentwicklungen bekannt bzw. erlaubt sind. )

{sin}^{2} (x) = x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + f_{1} \cdot x^{6} - f_{2} \cdot x^{8} + f_{3} \cdot x^{10} - ...

(f_{1}, f_{2}, . .

. sind Faktoren, die für die Berechnung ohne Belang sind )

\frac{x^{2} - {sin}^{2} (x)}{2 \cdot x^{2} \cdot {sin}^{2} (x)} = \frac{\frac{x^{4}}{3} - f_{1} \cdot x^{6} + f_{2} \cdot x^{8} - f_{3} \cdot x^{10} + ...}{2 \cdot x^{2} \cdot {sin}^{2} (x)} =

= \frac{1}{2} \cdot [\frac{1}{3} \cdot {(\frac{x}{sin (x)})}^{2} - f_{1} \cdot x^{2} \cdot {(\frac{x}{sin (x)})}^{2} + f_{2} \cdot x^{4} \cdot {(\frac{x}{sin (x)})}^{2} - ...]

Unter Verwendung des Grenzwertes in den jeweiligen runden Klammern ergeben alle Summanden in der eckigen Klammer mit Ausnahme des ersten den Wert 0.

\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{6}

Geronimo234 aktiv_icon

12:19 Uhr, 31.08.2015

Wunderbar, hat alles geklappt :-)
Vielen Dank!

1251097

1250990

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?