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Grenzwert bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Skrillex123 aktiv_icon

20:50 Uhr, 27.12.2018

Hey,

habe folgende Aufgabe Grenzwert bestimmen von

g = lim x \to 3 \frac{e^{3} - e^{x}}{9 - x^{2}}

hab keine Ahnung wie ich vorgehen soll wenn ich zb.

2,9999

einsetze müsste doch

+

unendlich rauskommen oder ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Respon

20:54 Uhr, 27.12.2018

Regel von de l'Hospital.

Skrillex123 aktiv_icon

21:08 Uhr, 27.12.2018

Ok ich komme dann auf

lim x \to 3

für

\frac{- e^{x}}{- 2 x}

dann 3 einsetzen dann kommt

\frac{e^{3}}{6}

korrekt?
Falls ja warum setze ich 3 ein wenn ich mich der 3 ja eigentlich nur annähern will ?

Respon

21:10 Uhr, 27.12.2018

Weil das "Annähern" dann kein Problem mehr ist.

Skrillex123 aktiv_icon

21:21 Uhr, 27.12.2018

Mhh ok, kommt jedenfalls das richtige raus, Danke :-)

godzilla12 aktiv_icon

22:50 Uhr, 27.12.2018

Warum du das so einsetzt? Weil die Krankenhausregel genau ds besagt . Wenn

f (x_{0}) = g (x_{0}) = 0 (1 a)

\exists g := lim_{x \to x_{0}} \frac{f' (x)}{g' (x)} (1 b)

Aus (1ab) folgt

g = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} (2)

godzilla12 aktiv_icon

00:56 Uhr, 28.12.2018

Übrigens; schau mal oben in deinem Header

" Wie schreibt man formeln? "

wie man " Limes

x \to 3

" so schreibt, dass es so manierlich aussieht wie bei mir.
Aber mir ist nochwas eingefallen; ich kann es dir nämlich so verklickern, dass du echt kapierst, was hier abgeht. Und zwar tun wir den Nenner faktorisieren nach der 3. binomischen:

x

- 9 = (x + 3) (x - 3) (2.1 a)

Ich qehe jetzt her und definiere zwei Funktionen

g (x) := \frac{1}{x + 3}; F (x) := \frac{e^{x} - e^{3}}{x - 3} (2.1 b)

Dann ergibt sich der gesuchte Grenzwert doch als das Produkt

lim = lim g (x) F (x) = (2.2 a)

= lim g (x) lim F (x) (2.2 b)

und zwar

(2.2 b)

nach einem bekannten Grenzwertsatz. Der Limes von

g

ist auch ganz unkritisch, nämlich

\frac{1}{6}

. Und was haben wir in F?
Bei Lichte besehen, stellt sich

F

doch heraus als Differenzenquotient von

f (x) := e^{x},

genommen zwischen

x_{0} = 3

und der beliebigen Stelle

x

. Und dieser Grenzwert ist nichts weiter als

f' (3) = e

Skrillex123 aktiv_icon

01:31 Uhr, 28.12.2018

Werde mir das manierliche schreiben von Formeln und deine genaue Ausführung von der ganzen Sache, morgen mit frischem Gemüt ansehen, heute vermag mein Verstand, dieses nicht mehr zu leisten :-)

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