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Grenzwert bestimmen mit L'Hospital

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Grenzwert, l'Hôspital

heilenmax aktiv_icon

23:31 Uhr, 05.01.2017

Hi,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Grenzwertbestimmung von:

lim (x \to 0) (sin (2 x) \cdot (2 x - 2)

/x²)

Bei dieser Aufgabe liegt das Problem 0*Unendlich for,welches ich anschließend umgeformt habe in das Problem

\frac{0}{0}

Ich habe dann die L'Hospital Regel angewandt und habe beide Funktionen abgeleitet und am Ende kommt bei mir

\frac{8}{0}

heraus, wenn ich die 0 als

x

einsetze. Die Lösung der Aufgabe ist unendlich,das weiß ich.

Jetzt meine Fragen:

1.Entspricht

\frac{8}{0}

unendlich? Wie kann das sein, da man ja eigentlich nicht durch 0 teilen kann.

2.Nochmal zum Anfang der Aufgabe:

sin (2 x)

ist gleich

0,

wenn ich 0 für

x

einsetze. Jedoch wenn ich bei (2x-2)/x² für

x

eine 0 einsetze, dann komme ich auf

- \frac{2}{0}

. Hier wiederholt sich zum einen meine erste Frage und zum anderen: wäre das dann nicht

0 \cdot

-unendlich?

Danke schonmal.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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anonymous

23:40 Uhr, 05.01.2017

Hallo

"entspricht

\frac{8}{0}

Unendlich?"
Ja.

"Wie kann das sein, da man ja eigentlich nicht durch 0 teilen kann?"
Ja eben. Gerade weil eine Division durch 0 nicht statthaft ist, kommt doch dieser unbestimmte Ausdruck 'Unendlich' heraus.

"2.

. .

. Wäre das dann nicht 0*unendlich?"
Ja, und ich ahne welche Ausdrücke du damit meinst.

Respon

23:55 Uhr, 05.01.2017

"Die Lösung der Aufgabe ist unendlich,das weiß ich."
Halbe Wahrheit
Rechtsseitig: bestimmt divergent nach

- \infty

Linksseitig: bestimmt divergent nach

+ \infty

Roman-22

00:23 Uhr, 06.01.2017

>

Gerade weil eine Division durch 0 nicht statthaft ist, kommt doch dieser unbestimmte Ausdruck 'Unendlich' heraus
Einspruch!

\frac{8}{0}

ist KEIN unbestimmter Ausdruck, sondern nicht definiert und auch "unendlich" ist KEIN unbestimmter Ausdruck, sondern bestenfalls ein Gedankenkonstrukt, ein Hilfsausdruck für "wächst über alle Grenzen",

...

.

Genauer geht es doch um den Grenzwert von

\frac{1}{x},

wenn sich

x

der Zahl 0 nähert.
Wie ledum eingewandt hat hängt es da davon ab, ob man sich der Null von linkes nähert

\frac{8}{- 1} = - 8

\frac{8}{- 0,001} = - 8000

\frac{8}{- 0,000000001} = - 8000000000

lim_{x \to 0 -} \frac{8}{x} =

- \infty

linksseitiger Grenzwert

oder ob man sich der Null von rechts nähert

\frac{8}{1} = 8

\frac{8}{0,001} = 8000

\frac{8}{0,000000001} = 8000000000

lim_{x \to 0 +} \frac{8}{x} =

+ \infty

rechtsseitiger Grenzwert

R

heilenmax aktiv_icon

13:04 Uhr, 07.01.2017

Ein Dank an euch alle für die Antworten,das hat mir geholfen.
Eine Frage hätte ich jedoch noch zur Aufgabe:

Kann ich der Aufgabe entnehmen ob ich mich der 0 von rechts oder von links nähere? In der Lösung ist halt +unendlich geschrieben.Und spielt das Vorzeichen,also das "Minus" bei

- \frac{2}{0}

keine Rolle? Also in der Lösung steht auch,dass man mit dem Ansatz 0*unendlich anfangen soll und nicht mit 0*(-)unendlich,obwohl doch

- \frac{2}{0}

eigentlich

(-)

unendlich repräsentieren müsste oder nicht?

Roman-22

13:16 Uhr, 07.01.2017

>

Kann ich der Aufgabe entnehmen ob ich mich der 0 von rechts oder von links nähere?
Es gibt unterschiedliche Schreibweisen, um das auszudrücken. Ich verwende für den rechtsseitigen Grenzwert eben das nachgestellte

+,

aber es gibt da noch eine Reihe anderer, unterschiedlicher Schreibweisen dafür. Einige siehst du hier: de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Notation

Wenn aber die Angabe

lim_{x \to 0} \frac{8}{x} =

? lautet, dann ist das Ergebnis undefiniert.

>

Und spielt das Vorzeichen,also das "Minus" bei

- \frac{2}{0}

keine Rolle?
Doch - es ändert das Vorzeichen.
Also zB

lim_{x \to 0 +} \frac{2}{x} = + \infty,

aber

lim_{x \to 0 +} (- \frac{2}{x}) = - \infty

>

Also in der Lösung steht auch,dass man mit dem Ansatz 0*unendlich anfangen soll
Von welcher Aufgabe redest du jetzt???
Wir waren doch jetzt die letzten Male nur bei deiner Frage "entspricht

\frac{8}{0}

Unendlich?".

heilenmax aktiv_icon

13:51 Uhr, 07.01.2017

Ich rede von der Aufgabe, die ich in meiner Einleitung ganz oben am Anfang erwähnt habe.

(Grenzwertbestimmung von: lim(x→0)(sin(2x)⋅(2x−2) /x²))

sin (2 x)

entspricht hier ja 0
und

\frac{2 x - 2}{x^{2}}

entspricht −∞ oder nicht? Also müsste der Ansatz 0*−∞ und nicht 0*∞ oder?

Das

\frac{8}{0}

ist lediglich das Endergebnis der Aufgabe gewesen.

Angenommen es würde hier 0*−∞ richtig lauten, hätte das einen Einfluss auf meinen Rechenweg bzw. auf das Ergebnis?

Roman-22

14:07 Uhr, 07.01.2017

>

Das

\frac{8}{0}

ist lediglich das Endergebnis der Aufgabe gewesen.
Endergebis?? Das ist aber falsch!

lim_{x \to 0} \frac{sin (2 x) \cdot (2 x - 2)}{x^{2}}

ist undefiniert!!

Wohl aber gilt

lim_{x \to 0^{+}} \frac{sin (2 x) \cdot (2 x - 2)}{x^{2}} =

- \infty

"

und

lim_{x \to 0^{-}} \frac{sin (2 x) \cdot (2 x - 2)}{x^{2}} =

+ \infty

"

Außerdem liegt doch hier von Haus aus der Fall "

\frac{0}{0}

" vor, sodass man sofort de l'Hôspital anwenden darf.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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