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Grenzwert cos(k*pi)/2

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz

UchihaMadara aktiv_icon

15:18 Uhr, 30.08.2023

Hi!

Bestimme

\sum_{k = 1}^{\infty} cos \cdot \frac{k \cdot π}{2}

Ich habe diesmal keinen Ansatz.
Ich weiß nur, dass der Kosinus beschränkt ist durch durch 1 und

- 1,

was hier bestimmt eine Anwendung findet.

Desweitern, würde

(k \cdot \frac{π}{2})

gegen unendlich gehen, er wird ja aber durch den Cosinus begrenzt..

VG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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michaL aktiv_icon

15:29 Uhr, 30.08.2023

Hallo,

berechne doch einfach mal ein paar Reihenglieder!

Dann siehst du schon.

Mfg Michael

UchihaMadara aktiv_icon

15:34 Uhr, 30.08.2023

k = 1 : cos \cdot \frac{1 \cdot π}{2} = cos (\frac{π}{2})

k = 2 : cos \cdot \frac{2 \cdot π}{2} = cos (π)

k = 3 : cos \cdot \frac{3 \cdot π}{2} = cos (\frac{3}{2} \cdot π)

wird kleiner, aber "irgendwann" alternierend.

Hat sie also keinen Grenzwert?

calc007

15:45 Uhr, 30.08.2023

was ist denn

cos (1 \cdot \frac{π}{2})

?
was ist denn

cos (2 \cdot \frac{π}{2})

?
was ist denn

cos (3 \cdot \frac{π}{2})

?
was ist denn

cos (4 \cdot \frac{π}{2})

. .

.
Auch ich empfehle, einfach mal die ersten Summanden vor Augen zu führen.
Dann wird aus der Raterei ein verständlicheres Tun...

UchihaMadara aktiv_icon

15:56 Uhr, 30.08.2023

Ich verstehe nicht so richtig, was ich genau berechnen soll..

= 1

= 0,998

= 0,997

= 0,994

Roman-22

16:14 Uhr, 30.08.2023

Man sollte keinen Taschenrechner benötigen um die Kosinuswerte der Winkel

\frac{π}{2}, π, 3 \frac{π}{2}, 2 π, 5 \frac{π}{2},

etc. anzugeben.
Aber wenns denn schon ein TR sein muss, dann stell' ihn doch bitte aufs Bogenmaß (RAD) ein und staune

. .

UchihaMadara aktiv_icon

16:25 Uhr, 30.08.2023

oh, danke!

es ist alternierend, zwischen

- 1

und 1.

Demnach besitzt die Reihe keinen Grenzwert.

Also da bin ich mir eigentlich nun sicher, nur eine kurze Bestätigung wäre gut :-)

VG.

Roman-22

16:30 Uhr, 30.08.2023

>

es ist alternierend, zwischen −1 und 1.
Naja, jedes zweite Glied ist aber Null!

>

Demnach besitzt die Reihe keinen Grenzwert.
Es ist richtig, dass die Reihe nicht konvergiert.
Die Folge der Partialsummen ist schließlich

< 0; - 1; - 1; 0; 0; - 1; - 1; 0; 0; - 1; - 1; 0; ... . . >

und hat mit ihren zwei Häufungspunkten eben keine Grenzwert.

UchihaMadara aktiv_icon

16:34 Uhr, 30.08.2023

Vielen Dank!

VG. :-)

HAL9000

17:13 Uhr, 30.08.2023

Kleine Zusatzaufgabe: Die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \cos (k x)

konvergiert für keine reelle Zahl

x

. Allerdings sind die Partialsummen dieser Reihe genau dann beschränkt, wenn

x

kein ganzzahliges Vielfaches von

2 π

ist.

michaL aktiv_icon

17:40 Uhr, 30.08.2023

Hallo,

EDIT: Sorry, habe ein paar posts verpasst...

Mfg Michael

UchihaMadara aktiv_icon

08:17 Uhr, 31.08.2023

@HAL9000
Danke für die Aufgabe!

Meine Gedanken:
Eine Kreisumdrehung (360°) sind

2 \cdot π

.

Wenn

x

kein ganzzahlige Vielfaches von

2 \cdot π

ist, dann wiederholt sich die Drehung um den Kreis nicht, so dass es durch

2 \cdot π

beschränkt ist.

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} cos (k \cdot x)

(was das

n

ist, das weiß ich nicht)
Das ist jetzt nicht mathematisch (bestimmt auch quatsch), aber erstmal meine Gedanken :-D)...

VG.

HAL9000

08:40 Uhr, 31.08.2023

Handeln wir zunächst den Fall ab, dass

x = 2 m π

für irgendeine ganze Zahl

m

sei. Für alle

k

gilt dann

\cos (k x) = \cos (2 k m π) = 1

, und die Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} 1

divergiert offenkundig bestimmt gegen

\infty

, also keine Beschränktheit der Partialsummen.

In allen anderen Fällen betten wir das ganze in die komplexen Zahlen ein. Die Partialsumme

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \cos (k x) = Re (\sum_{k = 1}^{n} \exp (i k x))

können wir dann gemäß Partialsummenformel der geometrischen Reihe so umformen:

s_{n} = Re (\exp (i x) \cdot \frac{\exp (i n x) - 1}{\exp (i x) - 1}) = Re (\exp (i x \frac{n + 1}{2}) \cdot \frac{\exp (i \frac{n x}{2}) - \exp (- i \frac{n x}{2})}{\exp (i \frac{x}{2}) - \exp (- i \frac{x}{2})}) = \cos (x \frac{n + 1}{2}) \cdot \frac{\sin (\frac{n x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}

Kann man mit Additionstheoremen noch etwas umformen zu

s_{n} = \frac{\sin (x \frac{2 n + 1}{2})}{\sin (\frac{x}{2})} - 1 (*)

.

Da der Sinus betragsmäßig immer

\leq 1

ist, kann man das grob abschätzen via

∣ s_{n} ∣ \leq \frac{1}{∣ \sin (\frac{x}{2}) ∣} + 1

mit einer Schranke auf der rechten Seite, die unabhängig von

n

ist.

D.h., obwohl die Reihenglieder einigermaßen wild zwischen -1 und 1 schwanken, gleichen sich die positiven und negativen Reihenglieder auf lange Sicht in der Summe einigermaßen aus. Ein weiterer Schluss aus Summendarstellung (*) ist übrigens, dass die Partialsummenfolge genau dann periodisch ist, wenn

x = 2 π q

mit einer rationalen, aber nichtganzen Zahl

q

gilt.

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