Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert der Ableitung = Ableitung des Grenzwert?

Grenzwert der Ableitung = Ableitung des Grenzwert?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, partielles Differential

ne-GAUSS aktiv_icon

23:06 Uhr, 09.10.2010

Hallo,

kann jemand folgende Frage beantworten:

Ist die folgende Annahme zulässig oder nicht?

y = f (x_{1}, x_{2})

\frac{d lim_{x_{1} \to x_{0}} f (x_{1}, x_{2})}{d x_{2}} = lim_{x_{1} \to x_{0}} (\frac{d f (x_{1}, x_{2})}{d x_{2}})

Besten Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

QPhma aktiv_icon

01:04 Uhr, 10.10.2010

Wenn man sowohl von

f (x_{1}, x_{2})

als auch von der partiellen Ableitung

\frac{\partial}{\partial x_{2}} f (x_{1}, x_{2})

Stetigkeit in der Variablen

x_{1}

voraussetzen kann, läßt sich die Aussage leicht beweisen. Ohne die Stetigkeit bin ich im Zweifel, ob das gilt.

lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{\partial}{\partial x_{2}} f (x_{1}, x_{2}) = \frac{\partial}{\partial x_{2}} f (x_{0}, x_{2})

(wegen Stetigkeit der Ableitungsfunktion)

\frac{\partial}{\partial x_{2}} [lim_{x_{1} \to x_{0}} f (x_{1}, x_{2})] = lim_{h \to 0} \frac{lim_{x_{1} \to x_{0}} f (x_{1}, x_{2} + h) - lim_{x_{1} \to x_{0}} f (x_{1}, x_{2})}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0}, x_{2} + h) - f (x_{0}, x_{2})}{h}

(wegen Stetigkeit von

f (x_{1}, x_{2}))

= \frac{\partial}{\partial x_{2}} f (x_{0}, x_{2})

ne-GAUSS aktiv_icon

12:16 Uhr, 10.10.2010

Vielen Dank, QPhma, für Deine Antwort.

Meine Funktion

f (x_{1}, x_{2})

ist an der Stelle

x_{1} = x_{0}

nicht definiert, aber der Grenzwert existiert und die zusammengesetzte Funktion

{f (x_{1} < x_{0}, x_{2}), lim_{x_{1} \to x_{0}} f (x 1, x 2), f (x_{1} > x_{0}, x_{2})}

ist eine stetige Funktion. Gilt der Zusammenhang auch mit so einer Funktion? Ein vereinfachtes Beispiel wäre

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1} \cdot x_{2}}{\log (1 + x_{1})}

mit

x_{0} = 0

. Vielen Dank!

QPhma aktiv_icon

00:08 Uhr, 11.10.2010

In dem Fall, wo die Funktion nur an dem einen Punkt

x_{1} = x_{0}

eine behebbare Unstetigkeit hat, erwarte ich, dass die Vertauschbarkeit von partieller Ableitung und Grenzwertbildung auch noch gilt. Einen sauberen Beweis habe ich dafür nicht. Man müsste sich genau ansehen, wie dann die Unstetigkeit der partiellen Ableitung aussieht, ob aus der behebbaren Unstetigkeit nicht etwa ein Sprung werden kann.

In Deinem Beispiel gilt die Vertauschbarkeit, da man schreiben kann

f (x_{1}, x_{2}) = g (x_{1}) \cdot h (x_{2})

. Damit bleibt die Unstetigkeit so wie sie ist in dem Faktor

g (x_{1})

und wird nicht von der Ableitung von

h (x_{2})

beeinflusst. Also ist auch die partielle Ableitung der Funktion

f (x_{1}, x_{2})

wieder behebbar unstetig an der einen Stelle

x_{1} = 1

ne-GAUSS aktiv_icon

17:41 Uhr, 13.10.2010

Vielen Dank, QPhma, für die erneute hilfreiche Antwort :-)

803753

802587

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?