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Grenzwert der Reihe mit Sandwichmethode bestimmen

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionalanalysis, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Grenzwert, Komplexe Zahlen, Lineare Unabhängigkeit

Sonnenlord aktiv_icon

18:02 Uhr, 04.05.2018

Hey, ich hoffe ich störe euch nicht an diesem Freitag abend :-)

Wir haben vor einer Woche die Einschließungsregel/ Sandwichmethode kennengelernt.
Die Aufgaben dazu konnte ich gut lösen, da es sich um Folgen handelte. Meistens Folgen mit Bruch oder Wurzeln.

Aber nun stehe ich vor einer Aufgabe, in der ich den Grenzwert einer Reihe mit der Sandwichmethode bestimmen soll.

Die Aufgabe habe ich unten als Bild hochgeladen, da ich das Summenzeichen hier nicht einfügen kann.

Dazu kommt noch, dass die Summe von 1 bis

n + 1

geht. Das heißt, ich sollte vielleicht eine Indexverschiebung machen, um die Summe wieder bis

n

laufen zu lassen, oder ?

Meine Frage ist nun: Wie kann man den Grenzwert dieser Reihe mit der Sandwichmethode bestimmen? Ich weiß echt nicht, wie ich das machen soll und probiere seit gut einer Stunde sinnvolle Umformungen aus, aber komme nicht weiter

...

.

Ich schätze, man sollte dieses Summenzeichen wegbekommen, um nur Brüche zu erhalten, oder?
Denn mit Brüchen kann man in der sandwichmethode an und cn leichter abschätzen, um somit den Grenzwert der Reihe zu bestimmen...

Ich bin durch diese Aufgabe verwirrt... kann mir da jemand helfen ?

\frac{:}{}

Ich bedanke mich schonmal im Voraus!

Mfg
Till

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Einführung Funktionen
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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pwmeyer aktiv_icon

18:52 Uhr, 04.05.2018

Hallo,

Du brauchst eine untere und eine oberen Abschätzung für die Summe, in Abhängigkeit von

n

. "Das

k

stört". Nimm mal die einfachste Abschätzung für

k

nach oben bzw. unten

...

.

Gruß pwm

Sonnenlord aktiv_icon

20:14 Uhr, 04.05.2018

Hey, danke für die schnelle Antwort!

Ich versuche dein Typ zu befolgen.

Ich habe die Reihe:

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

Es muss nach dem Sandwichtheorem gelten:

a_{n}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

c_{n}

a_{n}

zu erhalten, muss ich eine Summe finden, die kleiner oder gleich

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

ist.
Da

n

≥

k,

kann ich, um die Abschätzung nach unten zu haben,

k

durch

n

ersetzen, sodass ich den Ausdruck

a_{n} = \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}

erhalte.

So gilt:

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

c_{n}

c_{n}

zu bestimmen. brauche ich eine Summe, die größer gleich

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

ist.

Um eine Abschätzung nach oben zu erhalten,

(d . h

eine größere Summe) lasse ich das

k

unter der Wurzel einfach weg. Denn so wird die Wurzel kleiner und somit auch der Nenner.

So erhalte ich:

c_{n} = \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2}}}

Dann gilt:

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2}}}

Stimmt das soweit? Oder der sollte ich auch im mittleren Term

k

durch

n

ersetzen? Dann hätte ich aber

2 x

die selbe Summe...

Wie werde ich das Summenzeichen los und das

n + 1

?

Freue mich auf deine Rückmeldung!
Mfg
Till

abakus

20:38 Uhr, 04.05.2018

Hallo,
dein Laufindex heißt nicht i, sondern k.
Den ersten Nenner kannst du sogar großzügiger abschätzen, indem du statt n²+n
n²+n²=2n² verwendest.
Nach dem Radizieren lauten die beiden einschließenden Terme

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{n}

bzw

\frac{1}{n}

.
Beide Reihen divergieren.

ermanus aktiv_icon

20:46 Uhr, 04.05.2018

Hallo,
es ist

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2}}} = \frac{n + 1}{n}

.
Das divergiert nicht, sondern konvergiert gegen 1.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

20:58 Uhr, 04.05.2018

Als untere Abschätzung würde ich

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 1}} = . . .

nehmen.

Sonnenlord aktiv_icon

21:02 Uhr, 04.05.2018

Danke für eure Antworten!

Dann schätze ich das ganze ab und erhalte dann

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2}}}

Ermanus, wie bist du auf

\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}}} = \frac{n + 1}{n}

gekommen? Das haben wir in den Vorlesung nicht bewiesen, oder ist das eine Rechenregel?

Und wieso hast du den Term auf diese Weise nach unten abgeschätzt? Also

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2 n + 1}}

? Welche Vorteile hätte das ?

Mfg
Till

ermanus aktiv_icon

21:09 Uhr, 04.05.2018

Naja,

\frac{1}{\sqrt{n^{2}}} = \frac{1}{n}

, also

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{n} = \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n}

.
Dahiner steckt doch gar kein besonderer Satz: wenn man

n + 1

-mal

\frac{1}{n}

hat,
dann ist das doch wohl - ohne Nachdenken -

\frac{n + 1}{n}

, oder ?

Zur unteren Abschätzung mit

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2}

. Das sollte dir doch zu Denken geben ;-)

Sonnenlord aktiv_icon

21:23 Uhr, 04.05.2018

Ah, stimmt! Tut mir leid, dieses "n+1" verwirrt mich irgendwie.

Dann erhalte ich folgendes:

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{{(n + 1)}^{2}}}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

\frac{n + 1}{n}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{n + 1}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

\Rightarrow \frac{1}{n + 1} + .

+ \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 1} = 1

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

\frac{n + 1}{n}

\Rightarrow 1

≤

\sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k}}

≤

\frac{n + 1}{n}

Stimmt das? Wenn ja, dann muss man schon ein Auge dafür haben. Zumindest für mich. Liegt aber vllt auch daran, dass es das erste Mal für mich ist

. .

.

Naja, der linke Term ist ja 1. Also konvergiert er auch gegen 1. Der rechte Term geht offensichtlich auch gegen

1,

aber das müsste ich wieder durch das Sandwichtheorem beweisen, oder ???Oder geht das auch durch stumpfes Ausmultiplizieren ? Ich weiß nicht genau wann ich was verwenden darf....

Mfg
Till

ermanus aktiv_icon

21:31 Uhr, 04.05.2018

Du bist doch fertig, die rechte Seite konvergiert gegen 1, die linke auch, deine
Folge

b_{n}

liegt dazwischen. Das Sandwich-Theorem besagt dann, dass auch

lim b_{n} = 1

ist.
Da musst du nichts mehr beweisen :-)

Es ist

\frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}

und

\frac{1}{n} \to 0

. Daran wird niemand zweifeln.

Sonnenlord aktiv_icon

21:38 Uhr, 04.05.2018

Echt? Muss man den rechten Term nicht so lange zerbröseln, bis der Grenzwert offensichtlich ist?? Ich weiß nie, wie genau das sein muss.

Klar, es ist offensichtlich, dass

\frac{n + 1}{n}

gegen 1 konvergiert, aber muss das nicht genauer sein? Weil der Zähler besteht aus 2 Summanden und durch Summen darf man nicht teilen. Diese Tatsache bringt mich zum Gedanken, dass ich den Term so lange umformen muss, bis ich auf Terme wie beispielsweise

\frac{1}{n}

komme. Weißt du, wie ich das meine ? Denn dann kann man nichts mehr dagegen einwenden.

Aber das ist immer ein Problem bei mir... ich weiß nie genau, wann es reicht :-P)

ermanus aktiv_icon

21:50 Uhr, 04.05.2018

Es ist aber doch ganz klar

\frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}

,
nach den Rechenregeln konvergenter Folgen gilt

lim (1 + \frac{1}{n}) = lim 1 + lim \frac{1}{n} = 1 + 0 = 1

.

Hier gibt es keine Schwierigkeit :-)

Sonnenlord aktiv_icon

21:56 Uhr, 04.05.2018

Genau das habe ich gemeint, mit ausmultiplizieren:-D) Aber dann wäre dieses Sandwichtheorem eigentlich überflüssig, weil das könnte man gleich mit der Reihe selber machen und hätte nur 2 Minuten Arbeit:S

Ich danke dir für die sehe große Hilfe. Habe endlich verstanden, wie man an solche Aufgaben rangeht!

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