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Grenzwert einer Folge (Epsilon Formel)

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Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Epsilon, Folgen und Reihen, Grenzwert

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16:34 Uhr, 27.11.2018

Guten Tag,

Ich habe ein Verständnisproblem, was das Epsilon Kriterium bei Grenzwerten von Folgen angeht.

Sei

a_{n}

eine Folge,

n \in ℕ

mit

a_{n} := \frac{1}{n}

Der Grenzwert ist 0, somit muss folgendes stimmen

Es muss ein

ɛ \in ℝ

ɛ > 0

und ein

N \in ℕ

geben, bei dem für jedes

n \geq N

gilt:

∣ a_{n} - 0 ∣ < ɛ

Mein Problem:

Man könnte doch einen beliebigen Wert anstatt der 0 einsetzen und würde immer ein

ɛ

finden, welches kleiner ist als

∣ a_{n} - B E L I E B I G E R W E R T ∣

wegen der Betragsstriche. Aber es darf ja in diesem Fall ausschließlich mit 0 funktionieren...

Hoffe mir kann da Jemand bei meinem Verständnisproblem helfen!

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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ermanus aktiv_icon

16:49 Uhr, 27.11.2018

Hallo,
in der Definition der Konvergenz gegen einen Grenzwert steht nicht
"Es muss ein

ε > 0

geben

. . .

", sondern
"Zu jedem(!)

ε > 0

muss es ein

N

geben ....".
Gruß ermanus

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17:00 Uhr, 27.11.2018

Also zu jedem beliebigen N muss es ein Epsilon geben, wo Folge - Grenzwert < Epsilon?

ermanus aktiv_icon

18:06 Uhr, 27.11.2018

Nein, zu jedem

ε > 0

muss es ein

N

geben ...
Das ist doch ganz etwas Anderes ...

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17:03 Uhr, 28.11.2018

Also gibt es für jedes N auch ein Epsilon? D.h. das Epsilon ist keine feste Zahl, die für alle N gilt?

MfG

ermanus aktiv_icon

17:53 Uhr, 28.11.2018

Mir scheint, du hast den Sinn der Definition noch nicht verstanden.
Nehmen wir die Folge

a_{n} = \frac{1}{n}

. Der Bruch

\frac{1}{n}

wird
für wachsendes

n

immer kleiner, nähert sich also immer näher der

0

an.
Wir vermuten daher, dass die Folge

a_{n}

gegen

a = 0

konvergiert, das also
der Grenzwert dieser Folge

a = 0

ist.
Um dies gemäß der Definition zu beweisen, müssen wir nun zu jedem

ε > 0

ein

N

angeben können, so dass

∣ a_{n} - a ∣ = ∣ a_{n} - 0 ∣ = \frac{1}{n} < ε

ist,
wenn

n \geq N

ist.
Wenn uns also jemand

ε = 0, 1

vorgibt, müssen wir ein geeignetes

N

dazu
angeben, dass

∣ a_{n} - a ∣ = \frac{1}{n} < 0, 1

ist für alle

n \geq N

.
Nun gilt

\frac{1}{n} < ε \overset{}{\Leftrightarrow} n > \frac{1}{ε} = 10

.
Wenn wir also z.B.

N = 11

wählen, so gilt für alle

n \geq N

∣ a_{n} - a ∣ = \frac{1}{n} < \frac{1}{10} = ε

.
So müssen wir bei Vorgabe eines

ε = 0, 01

ε = 0, 001

, usw.
jedesmal in der Lage sein, ein

N

anzugeben;
denn das bedeutet, wie nahe wir dem

a

auch kommen, also wie klein
auch immer der maximale Abstand

ε

a

vorgegeben ist,
es gibt immer einen Index

N

, ab dem alle Folgenglieder einen Abstand kleiner
als

ε

zu diesem Grenzwert haben.

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22:39 Uhr, 01.12.2018

Danke für deine ausführliche Erklärung, jedoch ist das Problem dabei, dass wir noch nie eine Aufgabe hatten, wo wir ein Epsilon in der Angabe hatten. Mit einem fest gesetzten Epsilon ist die Sache klar für mich aber ohne gesetztes Epsilon habe ich etwas Schwierigkeiten.

MfG

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