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Grenzwert einer Folge mit komplexen Gliedern

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert, Komplexe Zahlen

mathdeep aktiv_icon

14:43 Uhr, 12.11.2016

Hallo zusammen :-)
Kann mir bitte jemand bei der Suche nach dem Grenzwert (falls es einen gibt) für diese Folge helfen ? :

\frac{n!}{{(1 + i \cdot n)}^{n}}

Ich komme da einfach nicht weiter. Ich verstehe da einfach nicht, was ich mit der komplexen Zahl anfangen soll.
Ich habe bisher probiert und zB

n!

mit eingeklammert, also (n-te wurzel aus

n!)^{n}

und das dann umgeformt zu

n! \cdot {(\frac{1 - i \cdot n}{1 + n})}^{n},

indem ich Zähler und Nenner mit dem Konjugierten

1 - i \cdot n

erweitert habe und dann Potenzgesetze anwende, um

n!

wieder aus der Klammer zu bekommen. Ist das erst mal überhaupt so möglich?
Wenn ja, dann sitze ich jetzt hier fest.

(\frac{1 - i \cdot n}{1 + n})

ist meines Erachtens eine Zahl, die vom Realteil her sehr nahe an 0 liegt und vom Imaginärteil fast bei

- i

. Die n-te Potenz davon ist dann ??? tja ich vermute was ziemlich Wechselhaftes, da

i^{x}

ja immer den Quadranten wechselt. Wenn ich dann noch mit

n!

multipliziere, müsste ja was recht großes mit wechselnden Vorzeichen rauskommen, was deswegen auch keinen Grenzwert hat. Sehe ich das richtig, oder ist die Herangehensweise total falsch?
LG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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pwmeyer aktiv_icon

16:08 Uhr, 12.11.2016

Hallo,

Deine Überlegung zum Alternieren ist gut, dies läuft allerdings ins Leere, wenn die Folge gegen 0 konvergiert.

Deshalb berechne mal den Betrag der Folgenglieder.

Gruß pwm

mathdeep aktiv_icon

16:44 Uhr, 12.11.2016

Hi pwm,
wieso den Betrag?
naja also

n! > 0

deswegen |an|=

\frac{n!}{| {(1 + i \cdot n)}^{n} |}

. der betrag vom nenner ist mir ein rätsel. ich kann ja nicht erst betrag bilden und dann potenzieren. das wäre ja was anderes.
oder meintest du was anderes?
lg und danke für die hilfe

mathdeep aktiv_icon

17:09 Uhr, 12.11.2016

oder meintest du |a(n+1)-an| ?
das wäre

| \frac{(n + 1) n!}{(1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n}} - \frac{n!}{{(1 + i \cdot n)}^{n}} |

= | \frac{n! (n + 1) {(1 + i \cdot n)}^{n}}{(1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n} \cdot {(1 + i \cdot n)}^{n}} - \frac{n! (1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n}}{(1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n} \cdot {(1 + i \cdot n)}^{n}} |

= | \frac{n! (n + 1) {(1 + i \cdot n)}^{n} - n! (1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n}}{(1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n} \cdot {(1 + i \cdot n)}^{n}} |

= | \frac{n! ((n + 1) {(1 + i \cdot n)}^{n} - (1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n})}{(1 + i (n + 1)) {(1 + i (n + 1))}^{n} \cdot {(1 + i \cdot n)}^{n}} |

Ob das jetzt allerdings positiv, negativ oder evtl sogar jemals

<

Epsilon wird, weiß ich wirklich nicht...

pwmeyer aktiv_icon

17:54 Uhr, 12.11.2016

Hallo,

"ich kann ja nicht erst betrag bilden und dann potenzieren. das wäre ja was anderes."

Neine. Es gilt für alle

z \in ℂ : | z^{n} | = {| z |}^{n}

mathdeep aktiv_icon

17:57 Uhr, 12.11.2016

echt? ist ja geil :-)
aber wie meintest du das nun?
nur |an| oder

| a (n + 1) -

an|
lg

mathdeep aktiv_icon

18:06 Uhr, 12.11.2016

also normaler betrag ist dann
|an|

= \frac{n!}{{| 1 + i \cdot n |}^{n}} = \frac{n!}{{\sqrt{1 + n^{2}}}^{n}},

das würde ich abschätzen auf

\frac{n!}{{\sqrt{n^{2}}}^{n}} = \frac{n!}{n^{n}}

und für

n \to

unendlich geht das gegen 0.
trotzdem die frage: wieso betrag? ich kann doch nicht einfach mal so den betrag davon bilden. das ist doch dann was anderes, oder?
LG

pwmeyer aktiv_icon

18:09 Uhr, 12.11.2016

Hallo,

es ist nichts anderes, wenn es um die Konvergenz gegen 0 geht - schreib Dir einfach auf, was

z_{n} \to 0

bedeutet.

Gruß pwm

mathdeep aktiv_icon

18:14 Uhr, 12.11.2016

ja wenn es gegen 0 geht seh ich das ein, weil es egal ist ob ich von - gegen 0 oder von plus gegen 0 gehe. aber wenn ich sowas nicht sehe, dass es gegen 0 geht, wie soll ich diese aufgabe dann angehen? ich meine, den betrag zu bilden ist nur bei an

\to 0

mgl. wenn ich aber vermute an

\to a, a

nicht

0,

dann müsste ich doch anders rechnen.
wie hast du zb erkannt, dass das gegen 0 geht?
lg

ledum aktiv_icon

18:36 Uhr, 12.11.2016

Hallo

z_{n}

kann nur konvergieren, wenn auch

| z_{n} |

konvergiert, überlege warum! wenn

| z_{n} \mapsto z_{0}

konvergiert, muss auch Re(z) und Im(z) konvergieren, also kannst du die einzeln betrachten.
Gruß ledum

mathdeep aktiv_icon

19:46 Uhr, 12.11.2016

du redest gerade nur von komplexen zahlen nehm ich mal an :-)
also

| z |

ist der abstand zu 0. wenn der sich nicht einem wert annähert, dann kann sich

z

keinem punkt im Koordinatensystem annähern. Deswegen ist mir auch ersichtlich, dass man den betrag bilden kann. bloß wie soll man darauf kommen? ich finde es toll, dass das mit dem betrag geklappt hat und an auch gegen 0 konvergiert wenn |an| gegen 0 läuft, aber warum ist das überhaupt so, dass ich da einfach den betrag einsetzen kann. habt ihr da auch rumprobiert oder gibt es da einen trick, um sowas zu sehen?
und wo habe ich Re und Im einzeln betrachtet? (nur so nebenbei :-) )
auf jeden fall vielen dank für eure hilfe, meine ursprüngliche frage ist damit dann jetzt auch erst mal beantwortet
lg

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