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Grenzwert einer Reihe, Fakultät im Nenner

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Fakultät, Folgen und Reihen, Grenzwert, Grenzwertbestimmung, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

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tiegert

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22:25 Uhr, 06.06.2018

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Hallo Leute,

hat vielleicht jemand von euch einen Lösungsansatz für den Grenzwert der folgende Reihe (z kann auch komplex sein)?

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{4 n}}{(4 n)!}

Hab auch schon probiert

z^{4 n}

als

((x + i y)^{4})^{n}

zu schreiben und den inneren Term ausmultipliziert. Für die Fakultät im Nenner hab ich eigentlich auch keine gute Idee.

Vielen Dank bereits in Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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00:22 Uhr, 07.06.2018

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Die Reihe konvergiert ( Quotientenkriterium ).
Schreibe mal die ersten paar Glieder deiner Reihe auf.

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{4 \cdot n}}{(4 \cdot n)!} = 1 + \frac{z^{4}}{4!} + \frac{z^{8}}{8!} + \frac{z^{12}}{12!} + . .

.
Assoziiere mit ähnlichen Reihen.

1 - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} - \frac{z^{6}}{6!} + \frac{z^{8}}{8!} - ... = cos (z)

1 + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} + \frac{z^{6}}{6!} + \frac{z^{8}}{8!} + ... = cosh (z)

Addiert man die beiden Reihen, so erhält man:

2 + 2 \cdot \frac{z^{4}}{4!} + 2 \cdot \frac{z^{8}}{8!} + 2 \cdot \frac{z^{12}}{12!} + ... = 2 \cdot (1 + \frac{z^{4}}{4!} + \frac{z^{8}}{8!} + \frac{z^{12}}{12!} + ...) = 2 \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{4 \cdot n}}{(4 \cdot n)!} = cos (z) + cosh (z)

\Rightarrow

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{4 \cdot n}}{(4 \cdot n)!} = \frac{1}{2} \cdot (cos (z) + cosh (z))

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