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Grenzwert einer Reihe mit Indexverschiebung

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Geometrische Reihe, Grenzwert, Indexverschiebung

chris1909 aktiv_icon

09:27 Uhr, 22.08.2013

Hallo,
ich habe versucht den Grenzwert für folgende geometrische Reihe, Bild anbei, zu lösen. Ich komme leider nicht auf das richtige Ergebnis

\frac{9}{2}

. Meinen Fehler vermute ich bei der Indexverschiebung. Könntet ihr mir evtl. meine Lösung berichtigen? Ich weiß leider nicht, was ich anders machen sollte. Vielen Dank!

Mfg
chris1909

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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michaL aktiv_icon

09:33 Uhr, 22.08.2013

Hallo,

> [...]Bild anbei[...]

Wo?

Mfg Michael

chris1909 aktiv_icon

09:35 Uhr, 22.08.2013

Ooh, jetzt müsste das Bild dran sein!

Edddi aktiv_icon

10:41 Uhr, 22.08.2013

\sum_{v = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{v - 2}

= \sum_{v = 1}^{\infty} \frac{{(\frac{2}{3})}^{v}}{{(\frac{2}{3})}^{2}}

= \frac{9}{4} \cdot \sum_{v = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{v}

nun entweder Summe ergänzen:

= \frac{9}{4} \cdot [(\sum_{v = 0}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{v}) - 1]

oder Indexverschiebung

v = p + 1 :

= \frac{9}{4} \cdot \sum_{p + 1 = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{p + 1}

= \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \sum_{p = 0}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{p}

Bezeichnen wir nun

\sum_{i = 0}^{\infty} a^{i} = S

muss also

S - 1 = a \cdot S

S \cdot (1 - a) = 1

S = \frac{1}{1 - a}

tatsächlich ist dies der Fall für geom. Reihe mit

| a | < 1 (\in

deinem Beispiel

a = \frac{2}{3})

;-)

michaL aktiv_icon

10:52 Uhr, 22.08.2013

Hallo,

@chris1909:
Deine Indexverschiebung halte ich für die schönere Idee. Vielleicht in Kombination mit der von Edddi angedeuteten "Ergänzung" (die hier aber nicht nötig ist, eher im Gegenteil).

Dein Problem ist aber vielmehr, dass du die 2 aus dem Bruch (unter der Potenz) vor die Summe gezogen hast. Das geht so nicht.

Ich mache es eher so:
Deine Summe "läuft" von der Potenz -1 bis

\infty

, d.h. es gilt

\sum_{v = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{v - 2} \overset{(i)}{=} \sum_{w = - 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{w} \overset{(ii)}{=} {(\frac{2}{3})}^{- 1} + \sum_{w = 0}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{w}

(i) Deine Idee der Verschiebung
(ii) Die "Ergänzung" (im negativen Sinne, da ja was überbleibt).

Mfg Michael

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