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Grenzwert eines Integrals = 0

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Tags: Funktion, Grenzwert, Integration

 
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Umplify

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00:32 Uhr, 21.02.2021

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Guten Abend,
Ich wollte unteranderem fragen, ob mein Ansatz richtig ist. Unzwar lautet die Integration von sin(λx)dx:-cos(λx)λ+C
Und wenn λ gegen unendlich konvergiert dann konvergiert der Bruch ja gegen 0 und die 0 multipliziert mit dem Funktionswert a bzw. b ergibt ebenfalls 0 richtig?
Jetzt lautet eine neue Teilaufgabe, ob dies auch gilt wenn die Funktion nicht differenzierbar ist, also nur stetig. Und dort verstehe ich nicht inwiefern dies ein Unterschied macht, vielleicht bei den Integrationsregeln?
Vielen Dank für jede Hilfe.

Analysis
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pwmeyer

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10:12 Uhr, 21.02.2021

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Hallo,

Du hast den Beweis ja nicht ausgeführt: Wie genau willst Du Dein Argument benutzen, um das Integral abzuschätzen, also wo bleibt / was machst Du mit dem f?

Soweit ich sehe, musst Du partielle Integration verwenden, dafür brauchst du die Differenzierbarkeit von f- oder?

Gruß pwm
Umplify

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19:01 Uhr, 21.02.2021

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Für g:=sin(λx) folgt dann ja:
F(x)G(x)|a bis b= ∫f(x)*G(x) dx+ ∫F(x)*g(x) dx (Integrale von a bis b)
mit limλ0 folgt:
0+ ∫F(x)*g(x) ( da G(x) mit limλ0 auch gleich 0 ist)
Wie müsste es weitergehen wenn mein Ansatz richtig ist? Und ist er es überhaupt?
Ich habe die Partielle Integration benutzt aber statt fg habe ich FG verwendet.

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pwmeyer

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13:21 Uhr, 22.02.2021

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Hallo,

Du musst Dir schon etwas Mühe geben und einen halbwegs verständlichen Text produzieren, wenn Du eine Bestätigung für Deine Überlegungen haben willst. Ich kann raten, dass G eine Stammfunktion für g ist. Aber was ist F? Wo taucht f' auf - was doch irgendwie benutzt werden soll.

Du schreibst: ".... folgt:" und danach steht keine Aussage, sondern ein Term?

Du schreibst beharrlich λ0. Schreibfehler oder Irrtum?

Gruß pwm
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:21 Uhr, 22.02.2021

Antworten
Hallo,

Du musst Dir schon etwas Mühe geben und einen halbwegs verständlichen Text produzieren, wenn Du eine Bestätigung für Deine Überlegungen haben willst. Ich kann raten, dass G eine Stammfunktion für g ist. Aber was ist F? Wo taucht f' auf - was doch irgendwie benutzt werden soll.

Du schreibst: ".... folgt:" und danach steht keine Aussage, sondern ein Term?

Du schreibst beharrlich λ0. Schreibfehler oder Irrtum?

Gruß pwm
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:50 Uhr, 22.02.2021

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Die Idee "partielle Integration" ist richtig, leider liegt eine unglückliche Symbolwahl von Umplify mit diesem F bzw. f vor, wo doch stattdessen dort f bzw. f hingehören! Damit kommt man wieder in die Spur, d.h. die diesbezügliche partielle Integration liefert

abf(x)sin(λx)dx=[-1λf(x)cos(λx)]x=ab+1λabf(x)cos(λx)dx .

Für die betragsmäßige Abschätzung aller Terme rechts ist es nun wichtig, dass die stetige (!) Differenzierbarkeit von f vorausgesetzt ist.
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