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Grenzwert gegen 0 mit de l'Hospital

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: differenz, Grenzwert, l'Hôspital

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09:34 Uhr, 12.08.2016

Guten Morgen,

ich möchte folgende Funktion auf ihren Grenzwert gegen 0 betrachten

f (x) = \frac{1}{sin (x)} - \frac{1}{x^{2}}

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Berechnen Sie den folgenden Grenzwert unter Anwendung der Regel von de l’Hospital.

lim_{x \to 0} (\frac{1}{sin (x)} - \frac{1}{x^{2}})

Ich würde den Limes mittels Rechengesetzen wie folgt umformen:

lim_{x \to 0} (\frac{1}{sin (x)} - \frac{1}{x^{2}}) = lim_{x \to 0} (\frac{x^{2}}{x^{2} \cdot sin (x)}) - lim_{x \to 0} (\frac{sin (x)}{x^{2} \cdot sin (x)})

g_{1} (x) = x^{2}

g_{2} (x) = sin (x)

h (x) = x^{2} \cdot sin (x)

Ich habe mal meinen Berechnungsansatz hier unten angehängt....

Vielen Dank für Eure Mühe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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Respon

09:54 Uhr, 12.08.2016

Etwas kompakter ( aber gleiches Endergebnis

) :

\frac{1}{sin (x)} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - sin (x)}{x^{2} \cdot sin (x)} \to \frac{2 \cdot x - cos (x)}{x^{2} \cdot cos (x) + 2 \cdot x \cdot sin (x)}

lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot x - cos (x)}{x^{2} \cdot cos (x) + 2 \cdot x \cdot sin (x)} = . .

Roman-22

09:56 Uhr, 12.08.2016

Und was genau ist deine Frage?

Dass du in eine Summe von zwei Grenzwerten aufteilst ist nicht sinnvoll, aber handschriftlich hast du dann ja ohnedies auf einen Bruch zusammengefasst und bist eigentlich damit auch schon fertig. Der neue Ausdruck strebt für

x \to 0

gegen "

\frac{- 1}{0} = - \infty

", divergiert also und das wars auch schon.

Abgeleitet hast du also richtig, falls das die Frage sein sollte, nur hättest du gleich

g (x) = x^{2} - sin x

setzen sollen.

R

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09:56 Uhr, 12.08.2016

Wie bestimme ich nun den Grenzwert?

Respon

09:57 Uhr, 12.08.2016

Der Zähler geht gegen

- 1

Der Nenner geht gegen 0

\Rightarrow . .

Roman-22

09:58 Uhr, 12.08.2016

>

Wie bestimme ich nun den Grenzwert?
Er existiert nicht. Siehe meine Antwort oben. Der Angabeterm strebt ebenfalls gegen

- \infty

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09:59 Uhr, 12.08.2016

Wieso erhalte ich bei

- \frac{1}{0} = - \infty

?

Ich hätte jetzt gesagt, dass ich als Grenze 0 erhalte....

Roman-22

10:01 Uhr, 12.08.2016

>

Wieso erhalte ich bei −1/0=−∞?
einfach durch "Einsetzen" von

x = 0

>

Ich hätte jetzt gesagt, dass ich als Grenze 0 erhalte....

. .

. und begründest das wie?

Was

sin (0)

und

cos (0)

sind, weißt du aber schon, oder?

EDIT: Ist dir etwa

\frac{- 1}{0}

klar und die Frage ist, wieso das gegen einen unendlich kleinen, negativen Wert strebt, also symbolisch

- \infty

. Das negative Vorzeichen sollte wegen dem Zähler

- 1

klar sein. Und was ist den das Ergebnis, wenn man 1 durch etwas betragsmäßig sehr Kleines dividiert?

\frac{1}{1} =

\frac{1}{0,1} =

\frac{1}{0,00000001} =

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10:04 Uhr, 12.08.2016

Mir ist schon klar, dass der

cos (0) = 1

ist und dass der

sin (0) = 0

ist....

Ich erhalte dann

\frac{- 1}{0},

wenn ich für

x = 0

einsetze.

Durch 0 darf man nicht teilen. Das weiß ich auch.

Wieso ist dann der Grenzwert

- \infty,

wenn ich

\frac{- 1}{0}

dort stehen habe?

Eigentlich ist das ja mathematisch nicht möglich.

Roman-22

10:08 Uhr, 12.08.2016

Unsere Antworten haben sich gekreuzt und ich habe oben nacheditiert, da ich deine Frage erst nach nochmaligem Lesen vermutlich richtig interpretiert hatte.

>

Eigentlich ist das ja mathematisch nicht möglich.
Darum auch meine Anführungsstriche, wenn ich "

\frac{1}{0} = \infty

" schreibe und daher auch die korrekte Formulierung "strebt gegen" und nicht "ist".

Daher eben auch der ganze Zinnober mit dem Grenzwertbegriff.

lim_{x \to 0} . .

. bedeutet eben nicht, dass man

x = 0

einsetzt (denn das kann man meist nicht, wenn man den

lim

verenden muss), sondern dass man sich sukzessive der Null nähert und beobachtet, was mit dem Term dabei passiert.

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10:11 Uhr, 12.08.2016

Also kann ich mir merken, dass "

\frac{1}{0}

" immer gegen

\infty

strebt?

Analog dazu strebt

\frac{- 1}{0}

gegen

- \infty

?

Wenn ich zb.

\frac{18}{0}

erhalte... strebt der Grenzwert dann ebenfalls gegen

\infty

Roman-22

10:11 Uhr, 12.08.2016

Dreimal "Ja" ;-)

Wobei genau genommen zB

\frac{18}{0}

gegen gar nix strebt, denn das ist ein ungültiger Ausdruck. Aber der Term

\frac{18}{x}

strebt für

x

gegen 0 gegen Unendlich.

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10:14 Uhr, 12.08.2016

Kann ich die Regel von de l'Hospital auch bei der 2. Ableitung verwenden?

Analog mein angehängtes Bsp.

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10:15 Uhr, 12.08.2016

Bsp.:

funke_61 aktiv_icon

10:15 Uhr, 12.08.2016

Tip:
nimm mal Deinen Tascherechner und gib nacheinander

\frac{- 1}{0,001}

\frac{- 1}{0,0001}

\frac{- 1}{0,00001}

ein.
Du siehst so, dass das Ergenis eine immer grössere negative Zahl wird . . .
(also im Grenzfall für einen Nenner "der gegen Null geht" eben gegen

- \infty

strebt).
;-)

Roman-22

10:18 Uhr, 12.08.2016

>

Kann ich die Regel von de l'Hospital auch bei der 2. Ableitung verwenden?
????
Wie meinst du das?
Es kann schon sein, dass man nach Anwendung von Hôspital wieder auf einen unbestimmten Ausdruck der Form

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

kommt und dann kann man Hôspital gern nochmals anwenden.

>

Analog mein angehängtes Bsp.
Da hängt nix dran. Scheint nicht geklappt zu haben.
Vielleicht ist das Bild zu groß - hier gibts eine Größenbeschränkung.

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10:18 Uhr, 12.08.2016

Kann ich das so wie hier bestimmen?

Roman-22

10:22 Uhr, 12.08.2016

>

Kann ich das so wie hier bestimmen?
Ja, ist richtig. Die Regel kann, wie oben schon beschrieben, beliebig oft hintereinander angewandt werden, sofern die Voraussetzungen dafür gegeben sind.
Ich würde allerdings nicht von zweiter und dritter Ableitung reden, sondern einfach davon, dass wir nun wieder einen unebstimmten Ausdruck der Form

\frac{\infty}{\infty}

haben und mit dessen neuen Funktionen

g

und

h

eben wieder die Regel anwenden.
Oft ist es nämlich auch nötig, nach erstmaliger Anwendung der Regel den neu entstandenen Bruch ein wenig umzubauen, bevor man nochmals mit Hôspital draufhaut. Dann ist es nicht mehr die zweite Ableitung des ursprünglichen Zählers, die neu im Zähler steht, sondern etwas anderes.

Roman-22

10:24 Uhr, 12.08.2016

@funke

>

Du siehst so, dass das Ergenis eine immer grössere negative Zahl wird . . .
Nein, es wird eine immer kleinere, negative Zahl.
Bestenfalls wirds eine betragsmäßig immer größere negative Zahl :-)

funke_61 aktiv_icon

10:26 Uhr, 12.08.2016

@ Roman Sorry,
Du hast natürlich recht . . . Dankeschön für Deine Korrektur :-)

Jomeus aktiv_icon

10:26 Uhr, 12.08.2016

Mein Beispiel ist also korrekt berechnet worden?

Roman-22

10:27 Uhr, 12.08.2016

Jaaaaa!
Siehe Antwort

10 : 22

Jomeus aktiv_icon

11:19 Uhr, 12.08.2016

Vielen Dank :-)

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