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Grenzwert in Abhängigkeit von Variable

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert

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lukasde

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12:18 Uhr, 17.05.2018

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Ich soll berechnen für welche

λ

gilt:

lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} - 1}) (\sqrt{x^{2} + λ} + x) = 2

Mein erster Ansatz war mit der dritten binomischen Formel zu erweitern, allerdings bleibe ich dann immer an der gleichen Stelle hängen.

lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} - 1}) (\sqrt{x^{2} + λ} + x) = lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} - 1}) * λ}{(\sqrt{x^{2} + λ} - x)}

Jetzt klammere ich x aus:

lim_{x \to - \infty} \frac{x * (\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}) * λ}{x * (\sqrt{1 + \frac{λ}{x^{2}}} - 1)}

Nachdem ich x kürze, ist der Grenzwert des Nenners gleich 0 und somit hilft mir das bei der Suche des Wertes für

λ

nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Antwort

Respon

12:30 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Klammere

(- x)

aus.

lukasde

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12:53 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Ich verstehe leider nicht wie mir das hier weiterhilft. Wenn ich

(- x)

ausklammere, komme ich im Nenner doch wieder auf 0, oder nicht?

Antwort

Respon

12:55 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Nein, denn aus

- 1

im Nenner wird dann

+ 1, d . h

. der Grenzwert ist

\frac{λ}{2}

.

lukasde

lukasde aktiv_icon

13:06 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Ich habe im Nenner doch stehen

x * \sqrt{1 + \frac{λ}{x^{2}}} - x

und wenn ich nun

(- x)

ausklammere, komme ich auf:

(- x) * (- \sqrt{1 + \frac{λ}{x^{2}}} + 1)

und somit ist das Ergebnis wieder 0.

Antwort

Respon

13:11 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Nein, schauen wir uns nur den Nenner an:

\sqrt{x^{2} + λ} - x \to (- x) \cdot (\frac{\sqrt{x^{2} + λ}}{- x} + 1) = (- x) \cdot (\sqrt{\frac{x^{2} + λ}{x^{2}}} + 1) = (- x) \cdot (\sqrt{1 + \frac{λ}{x^{2}}} + 1)

Kürzt man nun im Zähler und im Nenner durch

(- x)

und bildet den Grenzwert, so geht der Nenner gegen 2.

lukasde

lukasde aktiv_icon

13:26 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Darf man das

- x

hier mit unter die Wurzel schreiben, da

x

gegen

- \infty

läuft? Muss ich dann den "Trick" nochmal im Nenner anwenden, damit ich auf

\frac{λ}{2}

komme?
Sonst würde ich ja letztendlich auf

- \frac{λ}{2}

kommen.

Antwort

Respon

13:29 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Wenn ich

(- x)

in die Wurzel hineinziehe, muss ich quadrieren. Und

{(- x)}^{2} = + x^{2}

.Vor der Wurzel steht ein unsichtbares +.

Frage beantwortet

lukasde

lukasde aktiv_icon

13:32 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Ok jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe.

Antwort

Respon

13:34 Uhr, 17.05.2018

Antworten

Und aus

\frac{λ}{2} = 2 \Rightarrow λ = 4

Überprüfe durch Rechnung oder verwende "Wolfram".

lim

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