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Grenzwert lim x->x0 berechnen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, lim, MATH

mathematikko aktiv_icon

13:30 Uhr, 24.12.2021

Ich muss folgendes lösen:

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{n} - x_{0}^{n}}{x - x_{0}}

wobei

n \in ℕ

und

x_{0} \in ℝ

beliebig, aber fest vorgegeben sind.

Das wäre ja der fall "

\frac{0}{0}

" also habe ich versucht abzuleiten, aber das bringt mich hier ja nicht weiter. hat jemand noch ein paar Tipps oder Lösungsansätze?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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13:37 Uhr, 24.12.2021

vgl:
www.matheboard.de/archive/442645/thread.html

Respon

13:38 Uhr, 24.12.2021

Verwende

\frac{a^{n} - b^{n}}{a - b} = a^{n - 1} + a^{n - 2} \cdot b + a^{n - 3} \cdot b^{2} + ... + a \cdot b^{n - 2} + b^{n - 1}

Für

a = b

bekommst du dann

n \cdot b^{n - 1}

pwmeyer aktiv_icon

17:43 Uhr, 24.12.2021

"also habe ich versucht abzuleiten, aber das bringt mich hier ja nicht weiter."

Wenn Du damit die Regel von l'Hospital meinst, warum sollten die nicht weiter führen?

mathematikko aktiv_icon

23:24 Uhr, 24.12.2021

Ich verstehe es noch nicht ganz, wie mir das hier weiterhilft.
Wenn ich de l'Hospital anwende, habe ich nach erstem Ableiten:

lim_{x \to x_{0}} \frac{n \cdot x^{n - 1} - n \cdot x_{0}^{n - 1}}{1 - 1},

wobei ich wieder beim Fall "

\frac{0}{0}

" landen würde oder nicht ? und das würde mir ja nicht viel bringen. Ich glaube ich habe hier nicht ganz verstanden, wie ich l'Hospital hier benutzen muss.

Respon

23:29 Uhr, 24.12.2021

x_{0} \in ℝ

n \in ℕ

\Rightarrow

x_{0}^{n} \in ℝ

Die Ableitung einer Konstanten ist 0.

Allerdings stellt deine Aufgabe eigentlich die Herleitung des Differentialquotienten aus dem Grenwert des Differenzenquotienten der Funktion

f (x) = x^{n}

an der Stelle

x = x_{0}

dar.

mathematikko aktiv_icon

23:52 Uhr, 24.12.2021

Ahh, ich glaube jetzt macht es Sinn.
Wenn ich

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{n} - x_{0}^{n}}{x - x_{0}}

ableiten möchte, betrachte ich

x_{0}

als Zahl, heißt abgeleitet wäre es 0 (gilt hier auch

für

x_{0}^{n} = 0)

x

betrachte ich als "normales"

x,

also abgeleitet

1,

sodass ich

lim_{x \to x_{0}} \frac{n \cdot x^{n - 1} - 0}{1 - 0} = lim_{x \to x_{0}} n \cdot x^{n - 1} = n \cdot x_{0}^{n - 1}

erhalte. Ist das nun korrekt?

Respon

23:54 Uhr, 24.12.2021

So ist es.
( Allerdings ist deine Schreibweise formal nicht richtig. )

mathematikko aktiv_icon

23:56 Uhr, 24.12.2021

Vielen Dank :-)
Und noch frohe Weihnachten!

Respon

23:57 Uhr, 24.12.2021

Wir versuchen es gerade.
Also zurück zur Weihnachtsgans.

mathematikko aktiv_icon

00:04 Uhr, 25.12.2021

Danke noch für den Hinweis, was genau stimmt an der Schreibweise noch nicht?

Respon

00:13 Uhr, 25.12.2021

Wenn ich

lim_{x \to x_{0}} \frac{x^{n} - x_{0}^{n}}{x - x_{0}}

ableiten möchte, so

. .

. "
Du möchtest nicht den

lim (.

. ) ableiten, sondern

\frac{x^{n} - x_{0}^{n}}{x - x_{0}}

.
Der

lim (. .

. ) wäre ja eine reelle Zahl und ihre Ableitung daher 0.

UND

"gilt hier auch für

x_{0}^{n} = 0

"
Warum sollte

x_{0}^{n} = 0

sein ( außer in speziellen Fällen )

Natürlich ist klar, was du eigentlich gemeint hast.

mathematikko aktiv_icon

00:23 Uhr, 25.12.2021

Stimmt, vielen Dank :-) hat mir sehr geholfen

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