Grenzwert mit Betrag

Hi ich hab folgende aufgabe ( datei angehängt )

a) die Funktion hat keinen Grenzwert an der Stelle 0 weil sie dort nicht definiert ist! für ein muss man sich wegen des betrags die einseitigen grenzwerte anschauen deswegen wüerde ich die obere funktion nehmen. Wenn man sich dann die einseitigen grenzwerte nageschaut hat stellt man fest das diese unterschiedlich sind für x<1 = x +1 und für x>1 x-1 was zwei unterschiedliche werte ergibt -> existiert kein grenzwert!

laut lösung existiert dieser jedoch und zwar 0!

was mache ich falsch muss ich doch die zweite gleichung nehmen? aber wie kommt dann ein grenzwert von 0 raus? ....wo liegt schon wieder mein fehler ...

Muss man bei |x| denn keine fallunterscheidung machen?

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\{\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}<1\\ \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>1\end{array}}$

gerade bei 1 wäre das doch dann:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 1^{-}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=2 \\ \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 1^{+}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0} \end{gathered}$$

wieso das?

ich betrachte doch den punkt 1 und nicht den punkt 0 ???

hey ich hoffe das mir da noch jemand helfen kann dabei :(