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Grenzwert mit Cauchyprodukt berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cauchy Produkt, Folgen und Reihen, Grenzwert

Jacob16 aktiv_icon

10:50 Uhr, 19.11.2020

Moin,
ich soll mit der Cauchyproduktformel den Grenzwert von

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}

berechnen indem ich passende Produkte finde. Jeodch finde ich einfach keine.
Ich habe bereits

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} = \frac{9}{12}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n + 1}{3^{n}} = \frac{9}{4}

sowie

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} = \frac{3}{2}

berechnet.
Mit diesen Reihen habe ich auch schon einige Prdodukte gebildet, bin aber nie zu

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}

gekommen. Über Tipps wie ich die Produkte wählen sollte wäre ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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DrBoogie aktiv_icon

10:58 Uhr, 19.11.2020

(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}) (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{i + j = n} (\frac{i}{3^{i}} \frac{1}{3^{j}}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} \cdot \sum_{i = 0}^{n} i = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} \cdot 0.5 (n^{2} + n) =

= 0.5 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}} + 0.5 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}

und du hast dann deine Reihe.

pwmeyer aktiv_icon

11:01 Uhr, 19.11.2020

Hallo,

liefert nicht

(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{3^{k}}) (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{j}}),

wenn Du davon noch die Reihe über

\frac{n}{3^{n}}

abziehst,

das Gewünschte?

Gruß pwm

Jacob16 aktiv_icon

11:17 Uhr, 19.11.2020

Wie genau komme ich von der letzten Doppelsumme zu dem Ergebnis?
Also zu dem

0.5 \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}} + 0.5 \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} ?

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 19.11.2020

Du kennst doch die Werte für alle anderen Reihen in der Gleichung, damit hast du eine Gleichung mit nur einer Unbekannten (du musst nur aufpassen, dass du den richtigen Startpunkt der Reihe nimmst, bei mir starten sie mit

n = 0

).

Konkret bekommst du die Gleichung

\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = 0.5 x + 0.5 \frac{3}{4}

Jacob16 aktiv_icon

11:29 Uhr, 19.11.2020

Wie ich jetzt den Grenzwert berechne weiß ich. Ich hab mich wohl blöd ausgedrückt. Wie man von

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{3 n} \sum_{i = 0}^{n} i

zur nächsten Umformung kommt ist mir nicht klar.

HAL9000

11:39 Uhr, 19.11.2020

Verallgemeinerung: Man kann für

∣ z ∣ < 1

sowie

k \in ℕ_{0}

die Rekursion

(\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}) z^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} n + k + 1 \\ k + 1 \end{array}) z^{n}

per Cauchy-Produkt beweisen, basierend auf der Binomialkoeffizientensumme

\sum_{m = 0}^{n} (\begin{array}{c} m + k \\ k \end{array}) = (\begin{array}{c} n + k + 1 \\ k + 1 \end{array})

.

Für die ersten paar

k

bedeutet das (dabei die Binomialkoeffizienten ausgeschrieben):

(\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n}

(\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) z^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 2) (n + 1)}{2} z^{n}

(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 2) (n + 1)}{2} z^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(n + 3) (n + 2) (n + 1)}{6} z^{n}

...

Letzlich führt das zur expliziten Darstellung

\sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} n + k \\ k \end{array}) z^{n} = \frac{1}{{(1 - z)}^{k + 1}}

, und über passende Linearkombinationen der beteiligten Binomialkoeffizienten kann man jeden Reihenwert

\sum_{n = 0}^{\infty} p (n) z^{n}

berechnen, sofern

p

ein gegebenes Polynom ist und natürlich

∣ z ∣ < 1

gilt.

Jacob16 aktiv_icon

11:46 Uhr, 19.11.2020

Ich hab es jetzt. Das war ja einfach die Gaußsche Summenformel.
Danke :-)

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