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Grenzwert mit Epsilon-Delta - so richtig?!?

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Grenzwerte

Tags: Epsilon Delta, Funktion, Grenzwert

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17:09 Uhr, 01.02.2008

Moin moin erstmal...

Ich soll bei folgendem den Grenzwert bestimmen..

lim_{x \to 0} \frac{e x p (x) - 1}{x^{2} + x}

hab ich mir gedacht ist =1 Soooo nun wollte ich mit Epsilon-Delta-Kriterium das ganze beweisen und da wär's nett wenn ihr da mal n Blick drauf werfen könntet ob das so noch ok ist formal...

Also das Kriterium lautet:

lim_{x \to x_{0}} f (x) = a \Leftrightarrow \forall ϵ \exists δ \forall x a u s X : | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - a | < ϵ

Schreib ich also erstmal hin: Sei

ϵ > 0

so, dass aus

| x - 0 | < δ

folgt, dass

| \frac{e x p (x) - 1}{x^{2} + x} - 1 | < ϵ

.

(So jetzt müsste ich ja

δ

wählen, aber da ich nachher irgendwie ne komische Fallunterscheidung mache (von der ich nicht weiß ob das so richtig ist, geht das iwie nich =/ )

Es ist:

| \frac{e x p (x) - 1}{x^{2} + x} - 1 | = | \frac{e x p (x + 0) - e x p (0)}{x * (x + 1} - 1 | = | d / d x e x p (0) * \frac{1}{x + 1} - 1 | = | \frac{1}{x + 1} - 1 |

So jetzt kommt der Teil der mir Kopfzerbrechen bereitet, ob das so ok ist...
Ich mache ne Fallunterscheidung, woher das x kommt sozusagen...

1.Fall: x>0:

| \frac{1}{x + 1} - 1 | < | x - 1 | Y | x | < δ = ϵ (m i t d e r W a h l δ = ϵ)

2.Fall: x<0:

| \frac{1}{x + 1} - 1 | \leq | x | + | - 1 | < δ + 1 = ϵ (j e t z t h a l t m i t δ_{2} = ϵ - 1)

Irgendwie hab ich das Gefühl, dass diese Fallunterscheidung schwachsinnig ist, aber ich hab kein plan, wie man's anders macht und RICHTIG macht da,.... -.- wäre nett, wenn jemand was sagen könnte dazu!! :)

PS: Sorry wenn das komisch aussieht manchmal - ich kann eig kein latex^^

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