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Rechnungsende: Grenzwert epsilon-delta-definition?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: epsilon-delta Definition, Grenzwert

Christian09 aktiv_icon

22:36 Uhr, 04.11.2013

Hallo, wir sollen mit Hilfe der

ε - δ

Definition Beweisen, dass

lim_{x \to 7} (\frac{x^{2} - 49}{x - 7}) = 14

ist.

Ich habe das jetzt soweit gerechnet:

| \frac{x^{2} - 49}{x - 7} - 14 | < ε

\Rightarrow | \frac{(x^{2} - 49) - 14 \cdot (x - 7)}{x - 7} | < ε

\Rightarrow | \frac{(x - 7) (x + 7) - 14 \cdot (x - 7)}{x - 7} | < ε

\Rightarrow | \frac{(x - 7) (x + 7 - 14)}{x - 7} | < ε

\Rightarrow | x + 7 - 14 | < ε

\Rightarrow | x - 7 | < ε

Das ist mein bisheriger Lösungsweg. Soweit ich weiß muss ich nun ein

δ = ε

wählen, wobei

| x - 7 | < δ

ist. Damit wäre das dann auch kleiner

ε

.

Aber wie schreibe ich das nun Formal auf und wann habe ichs genau bewiesen? Muß ich nun einfach die 7 einsetzen und habe dann

0 < δ < ε

?

Bitte um die abschließende Hilfe bei der Aufgabe :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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Christian09 aktiv_icon

01:08 Uhr, 05.11.2013

Meine nächste Idee wäre

| x - 7 | < ε

\Rightarrow x < ε + 7

und somit müsste mein

x < δ < ε + 7

sein

Ach keine Ahnung mehr. Helft mir bitte :-D)

pwmeyer aktiv_icon

08:45 Uhr, 05.11.2013

Hallo,

mit

f (x) = \frac{x^{2} - 49}{x - 7}

schreibst Du einfach hin:

Sei

ε > 0

gegeben, wähle

δ := ε;

dann gilt:

| x - 7 | < δ, x \neq 7 \Rightarrow | f (x) - 14 |

=(wegen Deiner Rechnung)

= | x - 7 | < δ = ε

Gruß pwm

PS: Das ist irgendwie ein komisches Beispiel.

Christian09 aktiv_icon

12:11 Uhr, 05.11.2013

Ich danke dir :-). War leider Teil unserer Übungsaufgabe.

Christian09 aktiv_icon

12:20 Uhr, 05.11.2013

X \neq 7

ist klar, weil es nur gegen 7 läuft. Dass der Betrag kleiner

Δ

ist, das behaupte ich einfach oder? Und der Satz kommt unter meine Rechnung , wo ich das alles so ausführlich mit den kleiner Zeichen schreibe, oder? Vorher kann ich die Festlegung ja noch nicht treffen. Sry, für diese Art zu schreiben, schreibe mit einem mobilen Gerät.

Christian09 aktiv_icon

01:38 Uhr, 12.11.2013

Antwort nicht bewertet - möchte ich nachholen. Danke schön ;-)

Christian09 aktiv_icon

07:02 Uhr, 25.11.2013

Hallo, ich bekomme die Lösung einfach nicht in eine gescheite Form.

Ich habs jetzt so

Sei

ε > 0

gegeben , wähle

δ := ε,

dann gilt:

lim_{x \to 7} (\frac{x^{2} - 49}{x - 7}) = 14

\Rightarrow | \frac{x^{2} - 49}{x - 7} - 14 | < δ

\Rightarrow | \frac{(x - 7) (x + 7)}{x - 7} - 14 | < δ

\Rightarrow | x - 7 | < δ

x \neq 7

\Rightarrow | f (x) - 14 | = | x - 7 | < δ = ε

Die Form gefällt mir noch nicht so, wie bringe ich das in eine ordentliche Form?

F

Zum Verständnis:

Ich habe die

ε - δ

Definition. Die besagt, dass wenn

x

gegen 7 geht und der Limes davon

14

sei, dass dann der Betrag von der Differenz des Funktionswertes und des Limes immer kleiner wird. Dafür nehme ich mir das

δ

zur Hilfe. Ich sorge dafür, dass dieses

δ

immer gröser bleibt als der Betrag meiner Differenz: Funktionswert - Grenzwert. Da ich mich der

- 7

immer mehr nähere, aber sie nie wegen

\neq 7

erreiche, wird auch mein

δ

immer kleiner, aber nie 0. Somit ist mein

ε,

dass ich mit dem

δ

wähle, immer größer null, wird aber immer kleiner.

Warum brauche ich den Umweg über

δ

? Ich kann doch wie in den Beiträgen oben direkt sagen, dass dies für mein

ε

gilt? Wo ist da noch ne Wissenslücke?

Christian09 aktiv_icon

07:26 Uhr, 25.11.2013

So, hoffe das Posting hier vor liest dennoch jemand durch, auch wenn ich glaube ich der Antwort näher gekommen bin:

Behauptung:

lim_{x \to 7} (\frac{x^{2} - 49}{x - 7}) = 14

Sei

ε > 0

und

| f (x) - L | < ε

nach der

ε - δ

Definition, dann gilt:

| (\frac{x^{2} - 49}{x - 7}) - 14 | < ε

\Leftrightarrow | \frac{(x - 7) (x + 7)}{x - 7} - 14 | < ε

\Leftrightarrow | (x + 7) - 14 | < ε

\Leftrightarrow | x - 7 | < ε

Wählen wir

ε = δ,

so gilt

\forall x \in ℝ

ohne

{7}

(Definitionsbereich vermute ich mal stark ;-) ) mit

| x - 7 | < δ : | f (x) - 14 | \leq | x - 7 | < ε

Was mir nur nicht einleuchtet, warum ich

δ

wähle, wenn ichs ohnehin

= ε

setze!

pwmeyer aktiv_icon

10:15 Uhr, 25.11.2013

Hallo,

"Was mir nur nicht einleuchtet, warum ich δ wähle, wenn ichs ohnehin =ε setze!"

Darum habe ich neulich gesagt: Das ist ein komisches Beispiel. Hier ist einiges trivial, was bei anderen Problemen weitergehende Überlegungen erfordert.

Gruß pwm

Christian09 aktiv_icon

11:22 Uhr, 26.11.2013

Hier gehts sicherlich darum uns die Form beizubringen und eben die Lösung im der Definition.

Schreibst mir das trotzdem einmal ordentlich auf? Wäre dir dankbar :-) .

pwmeyer aktiv_icon

18:29 Uhr, 26.11.2013

Hallo,

war mein Beitrag vom

05.11

. "unordentlich"? Besser kann ich es nicht.

Gruß pwm

Christian09 aktiv_icon

03:42 Uhr, 28.11.2013

Hmm - es ist eigentlich schon der Weg, den ich mir vorgestellt habe, aber irgendwie verunsichert mich die Lösung und es scheint mir etwas an der Form zu fehlen (was nichts an meiner Bewertung über deine Hilfe änder :-D) - bleibt positiv)!

"Wegen meiner Rechnung"

Wie schreibe ichs am besten dahin?

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