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Grenzwert mit der h-Methode

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert

asobc

21:55 Uhr, 15.05.2016

Hallo zusammen,

leider habe ich große Probleme mit der Grenzwertberechnung. Sobald es schwierigere Beispiele gibt, weiß ich nicht mehr, was zu tun ist. Hier ein Beispiel:

Ich soll

lim x \to 1

bei

| x | \neq 1

berechnen für die Funktion

f (x) = \frac{x^{2} + 7 x - 8}{x^{2} - 1}

.
Hier stellt sich die erste Frage:

| x | \neq 1

ergibt sich ja auch dem Definitionsbereich, den ich im Nenner berechne. Hat die Angabe aber Auswirkungen auf meine Berechnung? In weiteren Beispielen habe ich auch ein Beispiel, in dem

x \to

für

x > 0

zu berechnen ist.

Zurück zum Thema. Ich versuche das mit der h-Methode.
Ich berechne rechts-limes

x \to 1 h \to 0

durch Einsetzen von

(1 + h),

wenn ich weiter rechne komme ich auf

h (\frac{h + 9}{h + 2})

.
Wie soll ich das Ergebnis interpretieren: kann ich sagen, da

h

gegen 0 läuft, läuft dann der ganze Ausdruck gegen 0 ? Ist es schon mein limes, oder muss ich noch links-limes berechnen?
(Die Fälle, die ich gefunden habe, hatten alle im Nenner Polynom niedrigeren Grad als im Zähler).

Ich wäre wirklich dankbar für Vorschläge.

EDIT: Ich sehe gerade einen Fehler,

h

kürzt sich ja aus, dann haben wir

\frac{h + 9}{h + 2}

. Ist dann das Ergebnis

4,5

oder +unendlich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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abakus

22:52 Uhr, 15.05.2016

Hallo,
der Zähler lässt sich zu (x+8)(x-1) faktorisieren, der Nenner zu (x+1)(x-1).
Der Grenzwert für x gegen 1 ist tatsächlich 9/2.

asobc

23:03 Uhr, 15.05.2016

Hallo, danke für Ihre Antwort
das kürzt das ganze tatsächlich ab.

Muss ich also kein links-limes berechnen?

Was wäre anders bei

lim x \to 0 x > 0

anonymous

23:37 Uhr, 15.05.2016

Hallo
Du tust dir mit deiner etwas schwer verständlichen Arbeitsweise keinen Gefallen.
Versuch doch mal ein wenig systematischer zu arbeiten. Wenn du ein wenig verständlicher machst, was du willst, dann wirst du leichter tun, deine eigenen Wege und Ziele zu festigen und zu gehen.

Ich möchte aus deinem letzten Rückfragen ahnend vermuten, dass du folgenden Ausdruck berechnen willst:

lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 7 \cdot x - 8}{x^{2} - 1}

Falls ja, dann mach doch einfach mal...
Das ist nicht schwer!

asobc

13:46 Uhr, 16.05.2016

Vielen Dank für Ihre Antwort.

Meine letzte Frage bezieht sich auf die Aufgabe

lim x \to 0, x > 0

für die Funktion

x^{ln (x)},

aber da bin ich leider noch nicht weiter gekommen, und ich will keine Fragen stellen, ohne einen Versuch selbst vorgenommen zu haben..

Ich wollte aber diese Aufgabe ansprechen:

lim x \to x \neq 0

und die Funktion ist:

\frac{{| x |}^{- 8}}{1 + x^{- 4}}

. Ich habe versucht es ein bisschen umzuformen und bekomme dann:
für

x > 0

\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}

. Mein Gedanke wäre dann, dass wir für

x

einfach 0 einsetzen können und im Grenzfall der Ausdruck dann

\frac{0}{1}

beträgt, also 0.
für

x < 0

- x^{4} \cdot (\frac{x^{- 4}}{1 + x^{- 4}})

da wir negative Zahlen haben, wenn man

^4

zieht, kommen positive Zahlen raus, die Zahlen nähern sich 0 an, so also auch

- x^{4}

. Der Bruch: ähnliche Situation wie oben, wenn wir für

x 0

einsetzen würden, wo wir uns annähern, wäre der Ausdruck

\frac{0}{1},

also 0.
Der

lim x \to 0

ist also 0.

Ist meine Denkweise logisch? Müsste man das eventuell noch anders berechnen oder reicht diese Erklärung?

anonymous

14:03 Uhr, 16.05.2016

13 : 46 h

heisst:

lim_{x \to ...} \frac{{| x |}^{- 8}}{1 + x^{- 4}}

und

x

ist ungleich

0,

da sonst ausserhalb des Definitionsbereichs.

Ich mag vermuten, dass das, was da fehlt, hätte heissen wollen:

lim_{x \to 0} \frac{{| x |}^{- 8}}{1 + x^{- 4}}

Dann sagst du, du hättest umgeformt.
Vorschlag, machen wir mal gemeinsam:

lim_{x \to 0} \frac{{| x |}^{- 8}}{1 + x^{- 4}}

erweitern mit

x^{8}

lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + x^{- 4}) \cdot x^{8}}

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{8} + x^{4}}

Und - wie wird der Grenzwert wohl aussehen?

asobc

14:15 Uhr, 16.05.2016

Ich würde sagen es geht gegen

0,

da sich im Nenner die

x

befinden, je größer

x,

desto kleiner der Bruch. Ist das richtig?

anonymous

14:22 Uhr, 16.05.2016

Ähmm........ !?!

Also, die Aussage
"je größer

x,

desto kleiner der Bruch"
ist richtig.

Aber -
willst du nicht den Grenzwert für

x \to 0

rechnen ?

asobc

14:28 Uhr, 16.05.2016

Ich gehe gegen

0,

also (beispielsweise)

\frac{1}{1000}, \frac{1}{100}, \frac{1}{10}, \frac{1}{0.01}, \frac{1}{0.001} . .

. dann wird der ganze Ausdruck immer größer, also ist mein Grenzwert unendlich. Ist das jetzt richtig?

anonymous

14:31 Uhr, 16.05.2016

Ja.

Oder um es formal 'richtiger' zu formulieren.

>

Dein Ausdruck hat keinen (eigentlichen) Grenzwert.

oder

>

Der uneigentliche Grenzwert ist Unendlich.

oder

>

Der Wert des Ausdrucks übersteigt alle Grenzen.

asobc

14:33 Uhr, 16.05.2016

Vielen Dank. Wie ich sehe gibt es tatsächlich einfachere Wege um diese Aufgaben zu lösen als die die ich mir überlegt habe.

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