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Grenzwert mit l'Hospital 0*unendlich und ue-ue

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, L'Hopital

mnh93 aktiv_icon

10:04 Uhr, 13.02.2016

Hallo,
wäre super wenn mir gerade jemand sagen könnte ob ich die erste Aufgabe so richtig gerechnet hab
und wie die zweite funktioniert, mit der gegebenen Formel.
Mit Rechenweg wäre super :-D)

Vielen Dank schon mal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

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f' (x)

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\frac{0}{0}

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\frac{\infty}{\infty}

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Respon

10:12 Uhr, 13.02.2016

Eine kleine Erleichterung beim ersten Beispiel.

lim_{x \to \infty} x \cdot ln (1 + \frac{1}{x}) = lim_{x \to \infty} \frac{ln (1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{u \to 0} \frac{ln (1 + u)}{u} = lim_{u \to 0} \frac{1}{1 + u} = . .

Respon

10:16 Uhr, 13.02.2016

Hinweis für das zweite Beispiel:

x^{2} - x - 2 = (x - 2) \cdot (x + 1)

gemeinsamer Nenner
kürzen

lim

mnh93 aktiv_icon

12:10 Uhr, 13.02.2016

Danke schon mal, das mit dem Hauptnenner ab ich schon verstanden, es ging mir aber eigentlich darum die Formal einmal anzuwenden, da ja nicht jeder Fall mit auf Hauptnenner bringen, lösbar ist.
Mein Problem ist, ich weiss nicht genau wann ich in der Formal dann den Grenzwert einsetzten muss.

Respon

06:06 Uhr, 14.02.2016

Die Regel von L’Hospital läßt sich anwenden für den unbestimmten Ausdruck

\frac{0}{0}

bzw.

\frac{\pm \infty}{\pm \infty}

.
Deine zweite Formel ist nur der halbe Weg dorthin. (

0 \cdot (\pm \infty))

Die vollständige Umformung wäre:

f (x) = u (x) - v (x)

mit

lim_{x \to x_{0}} u (x) = lim_{x \to x_{0}} v (x) = \infty

Durch die Umformung

f (x) = [u (x) - v (x)] \cdot \frac{\frac{1}{u (x)} \cdot \frac{1}{v (x)}}{\frac{1}{u (x)} \cdot \frac{1}{v (x)}} = \frac{\frac{1}{v (x)} - \frac{1}{u (x)}}{\frac{1}{u (x)} \cdot \frac{1}{v (x)}}

erhalten wir den unbestimmten Ausdruck

\frac{0}{0}

Für dein Beispiel

\frac{2}{x - 2} - \frac{6}{x^{2} - x - 2} = \frac{\frac{x^{2} - x - 2}{6} - \frac{x - 2}{2}}{\frac{x - 2}{2} \cdot \frac{x^{2} - x - 2}{6}} = \frac{2 \cdot x^{2} - 8 \cdot x + 8}{x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4}

Zweimalige Anwendung von L’Hospital

\frac{2 \cdot x^{2} - 8 \cdot x + 8}{x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4} \to \frac{4 \cdot x - 8}{3 \cdot x^{2} - 6 \cdot x} \to \frac{4}{6 \cdot x - 6} \to \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Entsprechende Umformungen gibt es auch für die anderen unbestimmten Ausdrucke

(0^{0}; \infty^{0}; 1^{\infty})

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